CHAPITRE VII

406, Surface du cône. — Si l'on considère deux pyramides ayani mime sommet que le cône, et pour bases des polygones semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cercle de base, la surface du cône sera la limite vers laquelle tendront ces surfaces lorsque le nombre des côtés de ces polygones augmentera indéfiniment.

Cela résulte de ce que nous avons établi en général ; mais on s'en assurerait encore au moyen des principes d'Archiuiède : il suffirait de construire un système symétrique du premier par rapport au plan de la base; on aurait alors un double cône et de doubles pyramides dont l'une envelopperait la surface du double cône, cl serait par conséquent plus grande, tandis que l'autre serait enveloppée par lui, el serait par conséquent plus petite. El comme le même rapport existe entre les moitiés de ces trois surfaces qu'entre ces trois surfaces elles-mêmes, il s'ensuit que la surface du cône est comprise entre celles des deux pyramides, dont il est facile de voir que le rapport a pour limite l'unité : elle est donc la limite des surfaces des pyramides inscrites ou circonscrites; d'où l'on conclut facilement que la surface courbe du cône a pour mesure la moitié du produit de la circonférence de sa base par son côté.

407. Surface de la sphè/c. — Si l'on conçoit un demipolygone régulier inscrit dans la demi -circonférence d'nn grand cercle, et qu'on le fasse tourner autour du diamètre qui passe par ses extrémités, il engendrera une surface qui, d'après la théorie générale que nous avons établie, aura pour limite la surface de la sphère lorsque le nombre des côtés du polygone augmentera indéfiniment.

C'est ce que l'on démontrerait encore d'après les principes d'Archimède, en concevant la surface qui serait engendrée par le polygone circonscrit semblable. La surface de la sphère serait comprise entre les deux, cl, comme les

434 SCI EH CE DE l'ÉTEHDDE.

mesures de ces deux surfaces munirent qu'elles se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre, il s'ensuit qu'elles ont pour limite commune la surface constante de la sphère.

On déduit de là que la surface de la sphère est égale à la circonférence d'un de ses grands cercles, multipliée par son diamètre, et égale, par conséquent, à quatre fois la surface d'un granit cercle.

408. I.a mesure de la surface d'une zone s'obtiendrait lemblablemenl, d'après noire théorie.

Mais en se servant des principes d'Arcliïmède, il ne suffirait pas de considérer les surfaces engendrées par une portion de polygone à côlés égaux, inscrits dans l'arc qui engendrerait la zone, et par un périmètre circonscrit semblable; car la surface de la zone ne serait pas complètement enveloppée par cette dernière. On remédie à cet inconvénient par une considération ingénieuse due à Archimède, et dont on ne fait pas assez, usage. Elle consiste à mener une tangente à l'extrémité de l'arc que décrit la zone cl n substituer le tionc de (duc que di-cril la portion de celte tangente, 1er minée au polygone cirronsiril, à celui que décrit ta portion de celui-ci qu'elle remplace. On a ainsi une portion de polygone qui engendre une surface qui enveloppe entièrement la zone, et il cm facile de reconnaître qu'elle est moindre que celle qu'engendrerai! le polygonrsemblable ù celui qui cal inscrit. La zone est donc comprise entre les surfaces engendrées par ces deux polygones semblables, dont elle sera la limite. Tonte difficulté est ainsi levée.

4(19. Folume de la sphère. — Ce volume peut être cousidéré comme limite de celui qui serait engendré par un polygone régulier inscrit dans un demi-grand cercle, et tournant autour du diamètre qui passe par les deux extrémités de ce demi-cercle. Or, on trouve facilement que ce dernier

r.HAriïnp VII. ^35

toi urne est mesuré par le produit du liera du rayon du grand cercle par quatre fois la surface du cercle inscrit dans le polygone, La sphère, qui en est la limite, aura donc pour mesure la limite de ce produit, c'est-à-dire le produit du tiers de son rayon par quatre fois la surface d'un de ses grands cercles, ou par la surface même de la sphère.

410. On trouverait de même la mesure du volume d'un secteur sphérique, ou du volume de la portion de la sphère comprise entre deux plans parallèles.

411. Volame du conoïde parabolique. — Archimède a donné la mesure de segments quelconques des corps engendrés par la révolution d'une section conique autour d'un de ses axes. 11 les considère tous comme limites de sommes de cylindres infiniment petits. Nous nous bornerons à considérer le cas de la parabole, et nous supposerons que la base du segment rail perpendiculaire à l'axe.

Si nous partageons la hauteur AP (Jîg. 45) en un nombre m de parties égales a ; que par tous les points de division nous menions des plans perpendiculaires à l'axe ;

que sur les cercles d'intersection comme bases nous construisions des cylindres terminés respectivement au plan précédent et au suivant : la somme des cylindres dirigés dans le sens de l'axe sera plus petite que le volume cherché, et ta somme de ceux qui sont dans l'autre sens sera plus grande. Or la différence de ces deux sommes est le cylindre

436 SCIBNCB DE l'êTENDIE.

dont la base est celle du segment même, et la hauteur a ; et cette différence peut devenir moindre que (ouïe grandeur donnée, en donnant une valeur asseï grande à m ; il en est de même, à plus forte raison, de la différence de l'une ou de l'autre des deux sommes au segment, qui est, par conséquent, la limite de l'une et de Vautre, Cela posé, il faut trouver la valeur do l'une d'elles, par exemple de la plus grande, qui se compose de m cylindres. On sait qu'un cylindre a pour mesure le produit de la surface de sa base par sa hauteur. Celui dont la base est à la distance AQ du sommet A aura donc pour mesure

irMQ .a.

Or eu désignant par ip le paramètre de la parabole, on a 5Q = î./jAQ,

et si n est le nombre entier de subdivisions contenues dans AQ, on aura

AQ = noi

le volume du cylindre aura donc pour expression

En faisant passer n par toutes les valeurs depuis i jusqu'à m, et faisant la somme do toutes ces expressions, on aura pour mesure de la somme des cylindres

ai r P «.(, + a + 3 + ... + ffl ),

ou

ou

^.««(m« + «) = np.AP(AP+«),

CB1VITHE VII. 43?

dont la limite est

xp.Âp',

lorsque a tend vers zéro.

Cette limite est donc égale à la mesure de la limite de la somme des cylindres, c'est-à-dire du segment proposé.

On peut lui donner une autre forme en remarquant que

Mp'= V.ÀP,

et l'on ohiieru ainsi

c'est-à-dire que le segment du conoïde parabolique, est égal au produit de la sur/ace de sa base par la moitié de sa hauteur.

Ce segment est donc la moitié du cylindre de même base et même hauteur, ou encore trois fois la moitié du cône de même base et même hauteur : c'est sous cette dernière forme qu'Archimèdc a présenté ce théorème.

41£. Surface de la spirale d'utrchimède. — Dans cette courbe les rayons pariant d'un point fixe, ou pôle, croissent proportionnellement à l'angle qu'ils forment avec une droite fixe; de sorte qu'en désignant cet angle par 6, et le rayon par r, on a

a étant une constante donnée.

Soit proposé d'évaluer l'aire comprise entre la droite fixe AB, l'arc AM et le rayon AM (fig, 46). Arehimède la considère comme limite d'une somme de secteurs circulaires, obtenus comme il suit.

Il partage d'abord l'angle MAB eu deux parties égales, puis chacune des moitiés en deux parties égales, et de même chacun des nouveaux angles en deux parties égales ; et ainsi de suite indéfiniment. Par chacun des points de

4'i9 science de l' étendue.

rencontre avec la courbe, il décrit des arcs de cercle, du centre A, jusqu'à la rencontre avec In droite qur précède et n» (G-

celle qui suit : il formede cette manière une suitede secteurs circulaires, les uns plus petits, les autres plus grands que la

Il suit de là que l'aire totale est comprise entre les deux sommes de secteurs, et que par conséquent la différence qui existe entre elle et chacune de ces sommes, est moindre que celle do ces deux sommes entre elles. Or il est visible que cette dernière n'est autre chose que le secteur circulaire dout le rayon est AM, et l'angle au centre, la subdivision de l'angle MAB qui décroît indéfiniment. Il suit de là que la différence des deux sommes entre elles, et à plus forte raison la différence de chacune d'elles à l'aire cherchée, peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Cette conclusion d'Arcllimède se traduit ainsi dans notre langage :

L'aire- cherchée A MA est ta limite de l'une ou de l'autre des deux sommes de secteurs circulaires.

La question est donc ramenée à l'évaluation d'une surface composée de surfaces plus simples que la proposée ; et e'est ce qui doit nous occuper maintenant.

Désignons par /nie nombre des subdivisions de l'angle 9, par a la valeur de l'une d'elles, nous aurons

CHAPITRE vu. 43y Soit ua l'angle formé avec AB par le rayon d'un quelconque des secteurs, ce rayon aura pour valeur ana; le cercle entier décrit de ce rayon aurait donc pour surface ira'n'a*, et par conséquent le secteur aura pour mesure cette expression, multipliée par le rapport de se A quatre angles droits, que nous représenterons pxr^i on obtiendra

Cela posé, pour avoir l'une des sommes des secteurs, par exemple de la plus grande, il faudra donner à n toutes les valeurs depuis i jusqu'à m dans l'expression précédente, et ajouter 1rs résultats, ce qui donnera

Or, c'est à cette occasion qu'Arcuimèdc a cherché la formule de la somme des cari és des nombres naturels, que nous avons déjà eu occasion d'appliquer. Cette formule pour les nombres de i à m est, comme nous l'avons dit,

L'expression de la somme des secteurs deviendra ainsi

ira» « «(ma + + 4D' 1.3.3

et, remplaçant ma par sa valeur 0,

un' 8(8 + i|(îI + ii]

4D tTÏ3

Maintenant que nous avons l'expression générale de la variable, dont la limite est la quantité cherchée, nous savons qu'il suffit, pour avoir la mesure de celle-ci, de rem-

44° SC1ERCI DE L'tTENDUE.

placer dans l'autre les variables par leurs limites. Or la seule variable qui y entre est a, dont la limite est zéro. L'aire cherchée a donc pour ramure

JÔ't

Telle est l'impression à laquelle conduit la formule de notre calcul ; mais il est facile de lui donner la forme mime suivant laquelle Archiinède l'a présentée.

En elfet, a'9" est le carré du rayon extreme AM, eiir A M «si la surface du cercle de rayon AM; l'expression précédente est donc équivalente au tiers du cercle AM multiplié par c'est-à-dire au tiers du secteur circulaire MAC.

413. Surface dit tore. — Le tore est le solide engendré par un cercle qui tourne autour d'une droite située dans son plan.

Soient Ole centre de ce cercle, AB le diamètre parallèle à l'axe de révolution XY [Jig. 4?); ÀMN. . . B. . .N'A un polygone d'un nombre pair de côtés, inscrit dans le cercle; Fi E . 4:-

MN, M'N' deux quelconques de ses côtés, symétriques par ■ apporta AB; C, C leurs milieux.

Les surfaces des troncs de cônes engendrés par MN et M'N' auront respectivement pour mesures anCQ.MN et anC'Q.M'K',