CHAPITRE VI

INACTIONS DÉCIMALES. - PUEMlEli EXEMPLE DE LIMITES DE QUANTITÉS VARIABLES.

67. L'évaluation des quantités en subdivisions décimales de l'unité, offre l'avantage d'une représentation semblable à celle des nombres entiers, d'uù résulte une plus grande facilité pour les opérations. La réduction au même dénominateur n'est plus nécessaire pour les additions et soustractions; et les subdivisions du l'unité étant toujours les mêmes, on est bientôt familiarisé avec elles, et ou se fait facilement une idée approchée de la valeur d'une fraction décimale, à la seule inspection de ses premiers chiffres.

Mais l'avantage de celle uniformité est quelquefois contre-balance par le grand nombre des chiffres que l'on doit prendre pour avoir avec une grande approximation la valeur qu'on renonce A prendre exactement.

Lorsqu'une fraction est donnée par un numérateur et un dénominateur, et qu'on veut la réduire à la forme décimale, il suflit d'effectuer la division qu'elle indique, en réduisant le numérateur entier et les restes successifs en dixièmes, centièmes, etc., comme on réduisait les divers ordres d'unités du dividende et des restes successifs en unités d'ordres inférieurs, pour Irouvcr les différents chiffre» dn quotient entier.

Cette opération peut se terminer, comme aussi elle peut se prolonger indéfiniment. On pent reconnaître lequel de ces cas aura lieu, d'après la décomposition du dénominateur en facteurs premiers. îNous ne nous occuperons

pas de ces détails ; nom nous bornerons à dire que quand l'opération ne se termine pas, il y a un certain nombre de chiffres consécutifs qui se reproduisent dans le même ordre indéfiniment, Et on reconnaît que ln périodicité commence, quand on retombe sur un reste déjà obtenu , qui ramène les suiiants dans le même ordre et par suite les chiffres du quotient. Or on ne peut avoir plus de restes différents qu'il n'y -i d'nnilés dans le divisent diminué d'une unité. Si donc, après en avoir obtenu ce nombre, l'opération n'est pal exactement terminée, le quotient sera périodique, et la période commencera an chiffre d'ordre quelconque fourni par le premier reste qui doit se reproduire. Il exisie donc des quinine» susceptibles être esprimées exactement au moyen de certaines sulidnisions de 1 unité, et qui ne peuvent l'être par d'autres assujetties à certaines conditions, qui leur permettent cependant d'atteindre un degré quelconque de petitesse. Ainsi, par exemple, une quantité qui serait exactement les - ;5 - de l'unité ne peut jamais Être complète me ni épuisée au moyeu des dixièmes, centièmes, millièmes, etc., d'unité, quelque loin qu'on prolonge l'opé-

sc reproduisant sans fin.

GS. Limites de variables. — Lorsque l'on fait une di-

qnolient serait moindre qu'une unité de l'ordre de ce chiffre; car, puisqu'on met toujours au quotient les plus forts chiffres possibles, si l'on ajoutait à l'un quelconque d'entre eux une seule uuité de son espèce, on aurait un. nombre plus furl que le quotient complet; seulement il le dépasserait de moins d'une unité de cette espèce, puisqu'il manquait quelque chose et qu'on n'a ajouté qu'une unité.

chapitre vi. 65 Lors donc qu'une division conduit à un quotient périodique, on peut y prendre un assez grand nombre de chiffres pour que la différence avec le quotient exact soit moindre qu'une unité d'un ordre décimal aussi avancé qu'on voudra, et par conséquent moindre que toute frac- Une fraction décimale périodique nous offre donc le premier exemple d'une quantité variable qui augmente continuellement, et qui cependant, n'atteint jamais une certaine valeur fix<; liien di'ici niim'c, quelque grand que devienne le nombre des cliiiti f.:- qui en rxp ri nient les parties qui s'ajoutent successivement les unes aux autres. Mais sî elle n'atteint jamais cette valeur fixe, sa différence avec elle diminue de manière à pouvoir devenir et rester ensuite au-dessous de toute grandeur désignée, quelque petite qu'elle soit.

Dans ces circonstances, on dit en général que In quantité fixe est la limite de la quantité variable, quelle que soit l'espèce de ces quantités.

Dans le cas actuel, ou dira que la fraction périodique a pour limite fa valeur du la fraction qu'on essayait de réduire en décimales.

La considération des limites est unedes plus importantes eldes plus fécondes des sciences mathématiques. Nous la développerons plus lard avec tout le soin qu'elle mérite ; pour le moment, nous nous bornerons à ce qui est strictement nécessaire pour ne pas laisser une lacune fâcheuse dans la partie de l'Arithmétique dont nous nous occupons.

69. Si l'on a uuc expression décimale indéfinie, périodique ou non, provenant d'une opération quelconque, dont on sait seulement que quand on a posé un chiffre d'un ordre quelconque on a un résultat trop faible, mais qu'on en aurait un trop fort en augmentant ce chiffre d'une

imite, il est évident qu'une pareille expression a une limite, puisque l'erreur commise en a'aiTêtaut à un chiffre est moindre qu'une unité (In même ordre, et peut par conséquent devenir plus petite que toute quantité donnée.

70. Maintenant il est facile de reconnaître que dans une pareille expression le déplacement de la virgule produit sur la limite le même effet que lorsque le nombre des chiffres est fini.

Eu effet, arrêtons la fraction décimale à un chiffre quelconque, le reste qui compléterait la limite sera moindre qu'une unité du dernier ordre. Dans l'expression ainsi obtenue, déplaçons la virgule, par exemple, en l'avançant d'un rang vers la droite; le nouveau nombre sera dix fois plus grand, et par conséquent si ou lui ajoutait dix fuis le premier reste on aurait dix fois la limite de l'expression proposée. Mais en prenant un nombre de chiffres de plus en plus grand, le reste peut devenir moindre que tome quantité donnée, ainsi que son décuple. Donc la limite de l'expression obtenue par le déplacement de la virgule est égale ii iliï fois celle de la proposée.

Le mémo raisonnement s'appliquerait à un déplacement quelconque do la virgule vers la droite ou vers la gauche, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

« Si dans une expression décimale iinléliuie on déplace

multipliée ou divisée par le même nombre que le sciait, parle même déplacement, la valeur d'une expression décimale dont le nombre des chiffres serait limité. i>

71. Nous avons vu qu'une fraction ordinaire qui n'est pas exactement rédui lilile en décimales, donne line expression périodique.

Rien n'est pins facile que de résoudre la question inverse et de déterminer la limite d'une fraction décimale