CHAPITRE IX

EXEMPLES Mi l'HOJiLBIErï SIML'IJiS, RÉSOLUS i'AII U MÉTHODE ANALYTIQUE.

81 . Avant de nous occuper de recherches plus générales, nous allons montrer par quelques exemples tris-simples que la méthode analytique, telle que nous l'avons déGnic dans la première Partie de cet ouvrage, est toujours celle qui se présente naturellement, et la seule qui puisse conduire «ans tâtonnement à la solution des questions.

82. Pboblèhe I. — Quel nombre fauilrait-il ajouter à chacun des termes de la fraction F pour en obtenir une

On ne pourrait raisonnahlement espérer résoudre eelte question en essayant successivement l'addition de nombres connus aux deux termes a et 5 ; car si le nombre inconnu ne doit pas être entier, on ne saurait quel dénominateur choisir pour les frictions a essayer. Le tâtonnement, qui est toujours un moyen désespéré, no pourrait donc môme pas être tenté. Mais l'analyse donne une solution extrêmement

En .effet, puisque les termes a et 5 augmentés de l'incou-

comparaison plus facile, ou réduit ces deux fractions au mèinc dénominateur, leurs numérateurs seront égaux; el, réciproquement, s'ils le sont, les fractions sont égales. Et comme la règle pour celte réduction est générale, ellcs'ap-

cuivra» ix. 8r pliquera au cas actuel où l'inconnue qui entre dans les

Trouver un nombre tel, qu'en l'ajoutant A a et multipliant lu somme par iZ, on ait le même résultat qu'en ajoutant ce nombre à 5, et multipliant la somme par 9 : car ce seront là les deux numérateurs après la réduction.

J.e nombre qui résoudra celle question sera précisément celui qu'on cherche.

Celle nouvelle condition peut s'énoncer comme il suil, un exécutant les multiplications :

i3 fois a plus i3 fois l'inconnue doil élrc «gai à 9 fois 5 plus 9 fois l'inconnue,

afi plus i3 fois l'inconnue doit cire égal à

Or, si l'on retranche de ces deux quantités ce qu'elles ont du commun, e'est-à-dire 26, et 9 fois l'inconnue, les restes devront élre égaux; et réciproquement, s'ils le sont, les deux quantités précédentes le seront. Donc la seconde question est ramenée à celle troisième, qui aura identiquement les mêmes solutions que la seconde et la première :

Déterminer un nombre qui répété 4. fois produise 19.

Nous sommes donc parvenus à une question que nous pouvons résoudre, puisqu'elle demande seulement qu'on trouve le quotient de la division de 19 par 4i lequel est

Le nombre qui résout la question proposée est donc-^j de sorte que

8l SCIEBCE DES SOMBRES.

ce qu'il est facile d'ailleurs île vérifier; e! celle vérification ne serait autre chose que la démonstration synthétique (!e la solution. Mais on voit que la marche synthétique, qui peut bien prouver qu'on a découvert la solution, est impropre a la faire découvrir.

La marche qui; nous avons suivie est analytique, puisque nous avons ramené le problème à un autre, et celui-ci à un troisième que nous avons pu résoudre; mats cette analyse n'est pas une décomposition de la chose à connaître en parties, que l'on chenlierait séparément pour eti former !e tout qui était à trouver. Ce n'est donc pas l'analyse de Condillac.

83. Problème II. — Un père laisse un héritage de 100 ooo francs qui devra être partagé de la manière suivante entre ses trois enfants ; la part du second devra être égale au double de celle, du premier, moins 20 000 francs, el la part du troisième devra être la moitié de celle du second plus 10000 francs. Quelles semnt ces trois parts?

11 suffit de connaître la première part pour en déduire les deux autres, d'après les conditions qui les lient. Or la détermination de cette inconnue Se ramène facilement à la résolution d'une autre question très-simple.

En effet, la seconde part étant deux fois l'inconnue, moins ao 000, et la troisième la moitié de cela, ou une fois l'inconnue moins 10000, à laquelle moitié on ajoutera 10000, ce qui fera une fois l'inconnue, il s'ensuit que les trois parts formeront 4 l'ois l'in cou nue moins 20000, et cette somme devra èirc égale à 100000 francs.

L'inconnue devra donc satisfaire à cette autre question :

Trouver un nombre tel, qu'en le répétant quatre fois,

Et il y a réciprocité entre les deux questions, puisque

bres déduits du premier comme les parts doivent se déduire de la première ; il sufliia dune que l'inconnue satisfasse à la condition que cette somme soit 100 ooo, pour qu'elle satisfasse â la ([lusiion [nepoici'.

Or, si 4 lois l'inconnue moins 20 000 est égal à 100 000, 4 fois l'inconnue sera égal à iqoooo, cl réciproquement. L'inconnue sera done le quart du j 50 000, ou 3o ooo, et réciproquement. La première part sera donc 3o 000 francs, ei par suite la seconde sera 40 000 francs et la troisième 3o 000 francs.

La marelle analytique a consisté ici à déduire de la question proposée plusieurs antres questions successives, satisfaites si la première l'était, et réciproquement.

84. Voici un problème un peu moins simple, que nous empruntons à l'Algèbre d'Euler :

Problèhk III. — Une paysanne a apporte au marche un certain nombre d'œufs. Elle en -vend à une première personne la moitié de ce quelle a, plus un demiœuf; à une seconde, la moitié de ce qui lui en reste, plus un demi-œuf; à une troisième, lu moitié du nouveau reste, plus un demi-œuf; enfin à une quatrième, la moitié de ce qui en reste encore, plus un demi-œuf. Après cette dernière vente il ne lui en re.'le plus; combien eu avait-elle apporté ?

11 est d'abord facile de reconnaître à quelle question on peut ramener la proposé.!'. Vm eflet, si 011 part du nombre d'œufs inconnu, et qu'on en déduise le reste après la première vente; iju on déduise de celui-ci le reste après la seconde, et ainsi de suite jusqu'au reste de la dernière vente, il faudra qu'il soit nul: el réciproquement, s'il l'est, le nombre d'ecufs qui le rendra tel satisfera aux conditions

Si SCIENCE DES BOMBBKS.

données. C'est donc à celle nouvelle question que la première est ramenée.

Or rien n'est plus facile que d'exprimer ce qui reste après chacune des ventes. Eu effet, elle vend d'abord la moitié du nombre inconnu plus ■■■ oeuf; il reste donc après cela la moitié du nombre inconnu inoins -œuf. A la seconde vente, elle doune d'abord la moitié de ce reste, plus encore -œuf: il reste donc la moitié do ce même resle, moins - œut , ou £ de 1 inconnue, moins ^ d œuf, moins a œuf; après la troisième il restera encore la moitié de ce reste moins ^ œuf; ou ^ du l'inconnue, moins g d'œuf, moins î d'œuf, moins i œuf. Le reste suivant sera encore la moitié de celui-ci , moins ~ œuf; ou ^ de l'inconnue, moins ^

d'œur, moins i d'oeuf, moins £ d'oeuf, moins ! œuf: et ce » 4 2

reste doit être égal à zéro si l'on donue à l'inconnue la valeur cherchée.

La question revient donc à la suivante, avec réciprocité : Trouver un nombre tel, que sa seizième partie diminuée de -j^i dp gi de ~ cl de i donne pour resle zéro. Et celle-ci revient évidemment à celle aulre : Trouver un nombre dont le seizième soit égal à lit

•" ''rj'î^'" ië'

Or celte dernière question se résout immédiatement, puisque le nombre dont le seizième est le seizième de i5,

La paysanne avait donc apporté i5 œufs au marché. C'est ce qu'on vérifiera facilement, et cette vérification serait la démonstration synlhûtique de la solution.

85. Notre méthode analytique se reconnaît encore ici, puisque nous avons procédé par déduction avec la démonstration de réciprocité. Mais on ne saurait y voir celle de Condillac, qui consiste à décomposer la chose cherchée en parties plus faciles à connaître, pour en former ensuite la chose elle-même. Nous n'avons employé d'autre décomposition que celle de la vente, telle qu'elle était indiquée par la question, mais non celle de la quantité inconnue; et nous n'avous pas cherché à connaître les diverses parties de celle inconnue pour la recomposer en les réunissant, comme l'indique l'analyse de Condillac.

86. On aurait bien pu donner une solution dans laquelle on aurait cherché l'expression des différentes parties dans lesquelles on aurait partagé l'inconnue; mais ce n'aurait pas été pour les connaître séparément et en former la somme : et même on ne l'aurait pas pu. Ce n'eût été qu'un moyen différent de ramener la question proposée à une autre qu'il eût fallu résoudre. On aurait donc encore suivi la méthode de réduction, et non la prétendue méthode analytique de Condillac.

Voici comment on eut alors procédé :

A la première vente la marchande donne la moitié de

l'inconnue plus- œuf, et il en reste la moitié de l'inconnue

moins - ceuf. Elle donne à la seconde vente ~ de l'inconnue

moins ~ d'oeuf, plus - o-uf, cl il resle 7 de l'inconnue moins 4 r » 4

yd'œuf, moin» ' teiif. Elle donrte donc à la troisième

g de l'inconnue, moinfigd'œuf, moins ■jd'œuf, plus i œuf, et il leste g de 1 inconnue, moins ^ d oeuf, moins j d œuf, moins ^ œuf. A ta quatrième veute elle donne donc ~ de l'inconnue, moins —d'œuf, moins g" d'oeuf, moins jd'œuf,

Or, [oui ce qu'elle a donné à ces quatre ventes constitue le nombre total des œufs qu'elle a apportés, puisqu'il ne reste plus rien après. D'où résulte cette conséquence :

L'inconnue est égale à la somme des quantités données

aux quatre ventes, ou à la moitié de l'inconnue plus -œuf, plus ^ de l'inconnue, inoins ^ d'ecuf, plus ^ oeuf, plus ~ de l'inconnue, moins g d'oeuf, moins ■', d'oeuf, plus - œuf, plus enfin ~ de l'inconnue, moins d'œuf, moins g d'œuf,

En opérant les additions et soustractions, on aura l'expression $uiv;i!ili.' tic la nn iiic proposition :

L'inconnue est égale aux ^-gde l'inconnue, plus d'œuf.

Le nombre qui satisfait ;'i la question proposée doit donc satisfaire à cette condition : et réciproquement, tout nombre qui y satisferait conviendrait à la question, puisqu'en partant de ce nombre et faisant les ventes indiquées par la question ou épuiserait exactement ee nombre.

Le problème est donc ramené à celui-ci :

Trouver un nombre égal à jcï ^ plus ^.d'unité.