DES MOYENS D'OBTENIR LA GÉNÉRALITÉ DANS LES RÉSULTATS

97. Dans toute question qui a pour objet du trouver la valeur d'une ou de plusieurs choses inconnues, il y a une distinction importante à faire. D'une part on aura à considérer les valeurs particulières, des données, et d'une autre part les différents rapports que les inconnues doivent avoir entre elles et avec ces données. Ces rapports constituent la nature de la question, cl les valeurs particulières des données en constituent des cas particuliers dont le nombre est illimité.

Or, on peut se proposer de trouver la solution d'une question d'une nature bien deCnie, en ne tenant compte que de cette nature et indépendamment des valeurs particulières des données : c'est ce qu'on appellera la solution générale de cette question.

En réfléchissant à ce que peut être la solution d'une question où. aucun nombre n'est fiïé, et où l'on ne connaît que les conditions qui les fient avec ceux que l'on cherche, on comprend qu'on ne peut se proposer autre chose que de déterminer la suite d'opérations connues qu'il faudrait exécuter sur les données pour obtenir les inconnues : et c'est aussi là ce que nous nous proposons.

Nous dirons donc que :

a La solution générale d'une question d'une espèce désignée, consiste dans l'indication des opérations connues

J)8 SCIENCE DBS 90HBRES.

qu'il faut effectuer dans tous les pas particuliers pour eu obtenir la solution.

Cette indication s'appelle une formule.

Et ce que nous venons de dire ne s'applique pas uniquement à des questions de nombres : seulement la nature des opérations dépend de celle des choses dont il s'agit. Ainsi la solution générale d'un problème de Géométrie est l'indication des constructions à faire pour obtenir dans tous les cas particuliers ce qui est demandé; et celte indication sera une formule de construction. Il en serait de même pour desrfhoscs de tout autre genre.

88. Voyous comment il sera possible d'obtenir celle généralité pour les questions de nombres.

Déjà nous avoua obtenu des propositions et des règles générales en prenant des nombres quelconques pour représenter les données, et raisonnant sans lenir compte de leurs valeurs particulières. La manière dont ces nombres entraient dans les résultats nous apprenait comment y seraient entrés tous autres nombres, et par conséquent ces résultats étaient généraux. Mais celle manière de procéder avait d'assci grands inconvénienls. D'abord il fallait que lous les nombres choisis fussent différents, pour ne pas tire confondus entre eux; il fallait une grande attention pour n'effectuer aucun <a!cul , mais seulement les réductions qui auraient été amenées dans tous les cas ; el si ces réductions avaient introduit des nombres déjà choisis pour rc* présenter des données, 11 en pouvait résulter à la fin quelque confusion. On a donc dû. renoncer à ce procédé dès que les questions se sont un peu compliquées.

Mai» il est un moyen aussi simple et qui n'est sujet a aucun inconvénieut : c'est de représenter les nombres donnés par d'autres signes quelconques que des nombres. On ne sera plus tenté alors d'exécuter les opérations qui se

présenteront; les réductions pourront s introduire des nombres qui ne sauraient faire confusion

ront dans la composition du résultat sera précisément la formule qui résoudra la question d'une manière générale. Les signes qu'il élan naturel do choisir sont les lettres de l'alphabet. Ce procédé se résume alors de la manière sui-

n Pour résoudre généralement toutes les questions d'une même espèce déterminée, ou représentera les divers nombre-, donnés par des lettre-, différentes, H on suivra iden-

t l.i mêm

une qursiion particulière il

ront plus des nombres qui:

indications d'opérations à I lettres remplacent. Ce se ru r droot d'uuc manière gén en 9fl. U» résultais généra»

pour dispenser de recomra entier les mîmes raisonnent Sont sousrnl indispensable-

qucsiions, même particulier

nombres les propositions di pas le droit de les appliquer:

on combine une suite de proport connues, il faut, comme nous l'a> assuré que les propositions qu'oi tous les nombres.

s'agissait de résoudre espèce. Quand on

r les nombres que les les formules qui rêsou- ;csiioM proposée. »

ni pas sculemenltitiles >ouc chaque cas pai hles mêmes calculs : ils poo.oi, ,r,i,„ d',^™ s oû il v a des nomlires

fait usage, on n'aurait i. Si, par exemple, ns renfermant des inis déjà remarqué, s'être pplique ont Heu pour

a ee procédé de généra-

raies de quelques

rmules qui donnent les aolutt 5 des problèmes précédents.

100 SCIE.NCE DES MMtBB.ES.

iSoi'I g uns fraction donnée, on demande la valeur

de X par la condition que SOÛ égal à une autre

fraction donnée -■

Celte coudilion s'exprimera par l'égalité

d'où, en réduisant au même dénomma leur et égalant les numérateurs,

a,d + d.x — b,c -+- c.x, ce que l'on écrira ainsi :

en convenant que deux lettres placées à cùlé l'une de l'autre,

Jusqu'ici il n'y a eu aucune difficulté à reproduire les raisonnements faits précédemment sur des nombres particuliers ; mais pour continuer il faut savoir lequel est le plus grand de c et de d. Supposant que Ton a c < d, ex sera commun aux deux quantités égales, et eu le supprimant, ainsi que ad, on aura

x multiplie par d — c égal à bc — ad}

ce que nous écrirons ainsi ;

x{d— e) = be — ad,

en convenant, une fois pour toutes, que quand une expression quelconque sera mise entre deux pareil tkèscs, on entend que c'est au résultat des opérations qui y sont indiquées que s'appliquent les autres indications extérieures.

La valeur tic x qui satisfail à la dernière équation est

Telle est la formule qui résout généralement la question. El l'on trouverait x — si l'on avait c > il.

101 , Un père laisse un héritage a, qui doit être partagé de la manière suivante entre tes trois enfants ; la part du second doit être égale à ni fois celle du premier, moins b ; et la part du troisième, la n''"" partie de celle dit second, plus c. Quelles sont les trois parts?

Si la première part est désignée par x, la seconde le sera

, , . . , fi« — (

par mx — £>, et la troisième par — — — h c.

Si re sont là les trois parts, leur somme sera a, d'où résulte la relation suivante ;

La question proposée est donc ramenée à la solution de celle qui est exprimée par cette lelalion. Si ou multiplie

fit réciproquement; et comme nous savons qu'on multiplie une somme ou une différence en multipliant tous les termes, la solution de légua lion précédente se ramèneà celle île la suivante :

x{n + nm ^ m) — nb — b + ne — an;

ajoutant de part et d'autre nb + b cl retranchant t. est ramené à

*(» + am + m) =an -t- nb + b — ne,

SCFENCE DES HOÎintlES.

Telle est la solution lie la question générale. Pour l'appliquer au cas particulier précédent, il faudrait supposer

etla formule donnerait x = 3oooo, comme nous l'avions trouvé en traitant dircclemcnt ce eas particulier.

102. Résolvons encore généralement le quatrième des problèmes précédents.

Soit a la somme des âges du frère et rie la sœur. La sœur iloil avoir aujourd'hui m fois l'âge qu'elle avait lorsque ion frère avait n fois celui qu'elle a aujourd'hui. Quels sont ces âges?

Soit x l'âge qu'avait la sœur à la première époque; elle aura aujourd'hui 1 âge rnx, et par conséquent la distance des époques sera mx — X. Le frère devait avoir nmx à la première époque , et par conséquent il a aujourd'hui nmx ■+■ mx — x ; et comme la somme Je leurs âges actuels est a, on devra avoir

La solution de la question proposée l'est doue de relie qu'exprime cette relation, et réciproquement. Celte égalité peut 5 écrire ainsi :

x est donc le quotient de a par a m ■+- nm — 1 , ou