DES OPÉRATIONS SUR LES QUANTITÉS DONT L'EXPRESSION EST LITTÉRALE

101. Les quantités dont il s'agit n'étant données que par l'indication dus opérations n faire pour les obtenir, le résultat d'opérations quelconques à effectuer sur elles ne peut être aussi qu'une indication d'opérations; mais re qu'on demande, c'est l'indication la p!us simple.

Nous ne nous occuperons pas des règles à suivre pour obtenir ce résultat; nous renvoyons pmtr uelà aux traités spéciaux, et nous ne nous proposons tri que d'éclaircir les points qui peuvent offrir quelque difficulté ; Ut du faire ressortir l'application des méthodes exposées dans noue première Vartie, d'où peuvent souvent résulter des méthodes particulières propres à la science que nous étudions.

Noos admettrons donc comme bien établis les procédés pour effectuer sur lus moin'imrs et les polynômes des additions, soustractions, multiplications, divisions et extractions de racines, et nous nous bornerons à quelques remarques nécessaires pour éviter toute fausse interprétation.

nfeCLE DES Sir.NES DÂÎIS LA MULTIPLICATIOM

103. Quand on multiplie deux polynômes l'un par L'autre, les différents termes du produit sont toujours formés par la multiplication d'un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur; le signe de ce terme est -+- quand les deux termes qu'on a multipliés ont le même signe dans leurs

polynômes respectifs; et lesigne est — quand ils y ont des signes différents. Dans eette manière d'énoncer la règle, on entend que le premier terme qui n'est précédé d'aucun signe sera regardé comme affecté du signe -f- , signe qu'il aurait effectivement si on le changeait de place dans le polynôme. Celle règle des signes a été démontrée sans difficulté, et nousl'admettronB; mais nous ferons bien observer qu'elle n'a de sens et qu'elle n'a été démontrée que dans le cas où les termes affectés du signe — sont précédés de termes additifs dont ils doivent être retranchés.

lOfj. Quant à l'ordre des termes dans ces polynômes, il peut être choisi pour certains avantages, de telle sorte que les termes négatifs ne soient pas précédés d'assez de termes positifs pour pouvoir être retranchés. Mais il faut toujours entendre que l'ensemble des termes négatifs est a retrancher de l'ensemble des termes positifs, cl faire les démonstrations dans ce sens. El s'il est plus commode d'ordonner les termes de manière à leur faire indiquer des opérations impossibles, et même de commencer par un terme négatif, il n'y a aucun inconvénient, pourvu qu'on suive les règles démontrées d'après la signification réelle, et qui donneront le même résultai, sauf l'ordre des termes, que l'on trouverait en disposant les termes des polynùmes sur lesquels on opère, de manière à éviter toute indication d'opération impossible.

Et quant à la composition des termes du produit, on reconnaît facilement qu'ils résultent toujours delà multiplication d'un lerme du premier par un terme du second ; que chaque terme du premier sera ainsi combiné avec tous ceux du second, mais une seule fois avec chacun ; de sorte qu'on aura les mêmes termes identiquement au produit, quel que soit celui des deus polynômes qu'on prenne pour le multiplicande.

lûfi SCIENCE DES NOMBRES,

D'après cette remarque, si ce produit devait être multiplié par un troisième polynôme, les termes de ce nouveau produit résulteraient nécessairement de la multiplication de trois termes pris respectivement dans les trois polynômes, et toute combinaison d'un terme du premier par un du second et un du troisième s'y trouvera une seule fois ; de sorte qu'on aura encore les mêmes termes dans le produit de trois polynômes, quelque ordre qu'on mette dans leur multiplication.

Et cette remarque se faisant continuellement en multipliant les produits successifs par un nouveau polynôme, ou arrive à celte proposition que :

h Le produit d'un nombre quelconque do polynômes est le memedaus quelque ordrequ'on les multiplie; que chaque terme du produit se forme de la multiplication de termes pria respective m en l dans chacun des polynômes ; que toute combinaison de ces termes ainsi faite, sans tenir compte de l'ordre, concourt à former un terme du produit, mais ne se rencontre qu'une fois. »