CHAPITRE XIII

m LA MISE EN ÉQUATION DES PROBLÈMES, OU RE LEUR RÉDUCTION AU PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA RÉSOLUTION , DES ÉQUATIONS.

109. Lorsqu'un problème a pour objet k détermina lion d'un ou do plusieurs nombres, et qu'on l'a ramené, avec réciprocité, à un autre problème consistant à trouver les valeurs de ces mêmes nombres par la condition qu'ils satisfassent à des équations entre eux et les nombres donnés, ou dit qu'on a mis ce problème en équation.

Dans les problèmes que nous avons résolus précédemment, nous n'avons introduit qu'une seule inconnue, et nous sommes parvenus ri une équation où elle se trouvait mêlée à des nombres connus. La question était ainsi ramenée à trouver quelle valeur il fallait donner au nombre désigné par x pour que l'égalité eut lieu.

Cette réduction du problème à la résolution d'une ou de plusieurs équations est très-importanle, parce que l'on a des procédés généraux pour traiter cette dernière question, cl que ces procédés conduisent d'une manière sûre aux valeurs des inconnues pour des classes d'équations très-diverses. Quand le problème conduit i\ des équations de celle espèce, il peut être regardé comme résolu dès qu'il est mis en équation.

Si l'on n'a pas démontré que les équations entraînent comme conséquences toutes les conditions de la question, mais seulement qu'elles en sont des conséquences, elles pourront renfermer des solutions étrangères; cl au con-

traire il pourrait y en avoir de perdues si l'inverse avait lieu.

Cela posé, cherchons un procède général pour mettre les problèmes en équation.

Ou remarquera d'abord que si on s'est bien pénétré de toutes les conditions de la question,' on doit être généralemeut eu état de vérifier si des nombres désignés y satisfont; et c'est même la un premier exercice très-utile pour les élèves. Cela posé, si on représente les nombres inconnus par des lettres et qu'on indique sur eux et sur les données précisément les mûmes opérations que l'on aurait faites sur des nombres particuliers pour vérifier s'ils conviennent, les comparaisons auxquelles celte vérification aurait nécessairement conduit, seront changées en relations nécessaires et suffisantes pour que les inconnues satisfassent à la question.

Cette marche consistera donc, si l'on procède par déduction, à partir des conditions de la question, à en tirer des conséquences en les supposant satisfaites, jusqu'à ce que l'on arrive aux comparaisons d'où résulteront les équations : et par conséquent c'est la méthode analytique qui conduira aux équations du problème. F.t si l'on procède par réduction, on suivra encore la marche analytique. Mais dans l'un ou l'antre cas, si la réciprocité n'a pas lieu, il y aura des solutions étrangères ou des solutions perdues.

Si la question doit conduire à plusieurs équations, la vérification se décomposera naturellement en plusieurs autres dont on s'oicupera successivement. Toutes les fois qu'une question peut être décomposée en plusieurs autres, ou commence par opérer celte réduction, qui est la première chose indiquée par l'analyse.

110. Telle est la marche générale à suivre pour ramener les problèmes à des résolutions d'équations. Son applica-

112 SCIUKCK DES KOHBHKS. CHAPITRE XIII.

lion varie avec la nature de la question, et peut offrir des difficultés lorsque les conditions sont compliquées; mais

on n'en peut dire davantage tant que la nat

are dcccscon-

ditions reste indéterminée; et l'on en conip.

rendra tout [*a-

vantage si l'on rélléchkquc, quand des rond

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comprises, il doit en général Cire assez faci

le de vérifier si

Cette règle est indépendante de la nature,

lions proposées, que des équations auxquelles elle conduit. 11 y a des classes d'équations pour lesquelles on peut donner des procédés généraux de résolution : il en est d'autres pour lesquelles un n'eu connaît pas. Mais, daus tous les tas, celle réduction des pi «blêmir à lu lésuliuiun deséqualions, est un premier pas nécessaire; et le problème auquel on est ainsi ramené forme une partie considérable de la science des nombres.

C'est de ce problème que nous allons commencer à nous occuper.