Les procédés identiques que nous avons suivis pour

obtenir les formules des i

■ connues, en partant d'équations

différant les unes des au

Lires par le seul changement de

signe de certains ternies,

devaient nous conduire à des cx-

>6mes termes, et dill'éraiil tout au

elques-uns d'entre eux. C'est c»

effet ce que montrent les fc

r,mJo,(4),(5) i (8),( !) ) i („),(.3),

et ce que montreraient ce

îlles que donneraient les combî-

liaisons que nous n'avons

, pour la solution complète d'une

même question, tant de

formes diverses qu'il peut être

nécessaire de combiner

ensuite avec d'autres formules

multipWs elles-mêmes, et

la remarque que ces formes di-

verses se composaient de

termes identiques, affectés seule-

ment de signesqui a'étaie

nt pas tous les mêmes, ont porté

a chercher s'il ne serait j

.as possible de les réunir toutes

dans un type uuii|uc, d'<

iù l'on ferait sortir, suivant une

règle bien déterminée, !•

s formules relatives a toutes le»

combinaisons possibles d>

as signes dans les équations pro-

posées. Celle formule gét rail toutes celles qui coi

qui- cornpoi le h question

éralc, qui a die seule renfermercspondenl à toutes les variétés t ii .li.ni.i r.,!i . m niiin I.i | lu*

parfaite que l'on unisse désirer.

Voyous donc à quel prix on pourrait acheter un pareil avantage.

Oigilized By Cooj

CH1PITHE XVI.

120. Comparons aux calculs du premier cas ceux qui se rapportent à toulcs les autres -combinaison* de signes; cl pour cela rendons-les aussi semblahles que possible, afin que l'analogie qui doit exister entre les formules finales, ainsi que les dissemblances qui doivent s'y trouver, puissent être prévues et dé mou liées avant même que ces formules soient trouvées.

Commençons .par la coin parai son du second cas au premier, et assojetlissons-uous à faire le calcul absolument de la rnÈme manière, à faire passer les termes correspondants dans les mêmes membres, mémo lorsque les soustractions y seront impossibles : divisons par les coefficients correspondants à ceux par lesquels on a divise dans le premier cas, même quand ces coefficients seraient précédés du signe — . La discussion que nous avons faite des signes du numérateur et du dénominateur des formules tirées des équations à une seule inconnue, ne permettra pas qu'il se trouve la moindre difficulté dans l'interprétation des résultats.

dissemblances des deux calculs bien plus faciles à suivre jusqu'il la lin; et la division d'uue quantité négative par une quantité négative nous représentera seulement le quotient des deux mêmes nombres sans signes, que l'on aurait eus h considérer si on avait fait passer les termes respectivement dans les membres différents.

Soient donc les deux systèmes d'équations

En tirant de la première de chacun des deux la valeur de y, et laissant cette inconnue dans le premier membre,

i:n en tendant (pic dans ta seconde il faudrait changer le signe du ses ternie- puni' que la divisirm mil un sens.

Substituanl dans les équations (a) et (S) cm expressions qui ne dillèrcnt que par le changement de h en — b, on aura les doux suivantes, qui ne différeront l'une de l'autre que par ce même changement,

et

m ■ , -+*( 1 Sf)

Chassons maintenant le dénominateur dans l'une cl dans l'autre; la première deviendra

(5) *■<,'* + i'(c-«),ic'.

Quant à l'équation (3) où l'on devrait changer de signe

qu'on multiplie les luî mes a'x et c'par b, puis qu'on change leurs signes, on aura une équation qui ne différera Oc la véritable que parce que tous ses termes seront changés de .■.i^iie. ci; qui ne peu: (humer île iltliicullé. Nous devons donc chasser lo dénominateur — b en faisant les multiplications par — b, d'après h règle des signes démontrée pour les polynômes, et qui n'aurait aucun sens dans le cas actuel. Nous aurons ainsi

(i) - bo',: ~ b'{c - ax) -

chapitre xn. I2 9 et comme (4) et (S) ne différaient que par le change moût de signe de b, (5) et {1) ne différeront aussi qu'eu ce que dans (5) il Faudrait changer b en — b et exécuter les mulliplicalions suivant les règles des signes dans le cas des polynômes, quoiqu'il n'y ait ici aucun sens à y attacher.

En faisant passer maintenant les termes connus des équations (5) et (t) dans le mime membre, et réunissant les termes en x dans l'autre, la même analogie se main, tiendra, et aura encore lieu dans les formules de x lire'cs dans l'un et l'autre cas : de sorte qu'avant d'achever ce calcul, on est assuré qu'on passera de la formule de x qui convient au système (1), (1), à celle qui convient à (a), (fi J, en changeant b en — b dans la première, et entendant que les multiplications se feront suivant les règles démontrées pour les quantités négatives non isolées. Et pour l'une et l'autre, les singularités qu'elles pour rai eut offrir dan s des cas particuliers, se traiteraient d'après la discussion complète que nous avons faite des équations à une seule inconnue.

Les valeurs ainsi trouvées seront

cb'— fir 1 cb'+ bc'

ob' — ba' ~ ab' + ba'

11 reste maintenant à comparer les valeurs de^.

Or, les expressions (3) et (y) ne différant que par le changement de signe de b, si l'on y remplace x par les valeurs trouvées qui ne diffèrent qu'en cela l'une de l'autre, on trouvera des expressions qui ne différeront aussi que parla l'une do l'autre; ces expressions seront

Si maintenant, dans les numérateurs de ces deux formules, ou réduit l'entier au même dénominateur que la fraction,

l3o SCIENCE DES HOKBRES.

ou passera toujours du premier au second, par le môme changement; s'il y a des termes ou des facteurs qui se détruisent d'un côlé, les correspondants se détruiront de l'autre ; et l'on voit enfin que la valeur de y dans le second système ne différera aussi de celle du premier que par le changement de b en — b, sous la condition expresse que les multiplications ou divisions se feront suivant les règles qui n'ont de sens que dans le cas des polynômes.

121 . Remarque. — Nous aurions bien pu arriver immédiatement à celte conclusion par la comparaison immédiate des formules (4), (S) et (8), (9) du chapitre XV; mais on n'aurait pas reconnu pourquoi cela devait être nécessairement; et cela n'aurait donné aucune indication relativement aux autres cas.

Au contraire, on voit clairemenl que si, au lieu de partir de la première combinaison de signes que nous avons choisie, on partait de toute autre, en y comprenant même ceux des seconds membres c, c', el qu'on obtint les formules de x et y qui s'y rapportent; si l'on changeait dans les équations le signe d'un seul terme, les nouveaux calculs à faire ne différerai eut successivement des autres que par le changement de signe du coefficient de ce terme, sous la condition expresse d'effectuer les opérations d'après les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes, et qui n'ont ici d'autre objet que de donner une indication commode pour conduire aux signes que l'on a démontré que les termes devaient avoir.

Or l'effet produit dans les formules des inconnues par un seul changement de signe dans les termes des inconnues fait connaître de proche en proche l'effet qui serait produit par un nombre quekouque de changements successifs.

Si) par exemple, on veut passer des formules de notre