Corollaire I. — Si l'on savait qu'un polynôme

(l) Aj- 4- A, -t— ' + . . . + * -1- A.

nombres positifs ou négatifs a, b, c, . . ., différents les uns des autres, on pourrait affirmer qu'il est le produit de la multiplication de son premier coefficient A par m facteurs binômes ayant pour premier terme X, et pour second terme chacun des nombres positifs ou négatifs qui le rendent nul, changés respectivement de signes.

En effet, nous venons de voir que si le polynôme est rendu nul par la substitution de a à x, quel que soi t le signe implicite de a, la division par x — a réussira, cl il est clair que le premier terme du quotient sera Ax"~'. Ce diviseur x — a serait x — S si a est 5, par exemple, et il serait x 4- 5 si a était — 5. On peut donc dire que le polynôme n'est autre chose que le produit (*-«.) (A*-' + ...)■

ce produit doit donc devenir zéro quand on y substitue b il.

Or le premier facteur devient h — a, et si le second ne devenait pas nul par celte substitution, le produit ne le serait pas, ce qui serait contre l'hypothèse; donc le facteur A-x" -1 4-. • • est rendu nul par la substitution de b, positif ou négatif; donc il est le produit dex — b par un

polynôme dont le premier terme est Ax™~*, On continuerait ainsi jusqu'à x — /, et le polynôme proposé n'est, par conséquent, autre chose que le produit

que l'on effectuerait suivant les règles ordinaires.

127. Remarque. — II n'est pas possible que le polynôme (i) soitannulé par plus de m substitutions différentes, car il faudrait que le produit (3) devint nul quand aucun des facteurs x — a,. . X — l ne le deviendrait; ce qui est impossible si le facteur invariable A 11c l'est pas luimême. Si donc ou avait démontré que (1) et par suite (a) deviennent réellement nuls par plus de m substitutions différentes, il en résulterait comme conséquence nécessaire que A serait nul, et par conséquent que (a) et par suite (1) seraient nuls, quelque valeur que l'on donnât à x.

Il résulte évidemment de là qu'il ne peut y avoir deux manières de décomposer un polynôme en fadeurs du premier degré.

On remarquera de plus qu'en effectuant les multiplications indiquées dans l'expression (s), les coefficients des différentes puissances de x auront A comme facteur et deviendront tous nuls, si À est nul. Et comme ces coefficients sont précisément ceux de (1) qui est le produit même, tous ces coefficients A, A, , A,, . . ■ , A„ devront être nuls si le polynôme (1) est rendu nul, par la substitution de plus de m nombres différents, positifs ou négatifs.

Corollaire II. — Si deux polynômes de degré m donnent des résultats égaux, positifs ou négatifs, quand on y subslitueplus de m nombres différents, positifs ou négatifs, tous les coefficients des mômes puissances sont respectivement égaux, et le second polynôme n'est que la répé-

chapitre xvir. l3(> lition du premier. Car en les retranchant l'un de l'autre, on aura un polynôme de degré m qui devra se réduire à zéro par la substitution de plus de m nombres positifs ou négatifs. Tous ces coefficients seront donc nuls, et par suite ceux des deux polynôme* seront égaux.

128. Extension du dernier théorème au cas de plusieurs -variables. — Il est utile d'élendre le dernier théorème aux polynômes qui renferment plusieurs variables indépendantes. Nous nous bornerons au cas de deux variables; la marche se trouvera assez indiquée pour un plus grand nombre. Voici l'énoncé du théorème que nous allons démontrer :

« Étant donnés deux polynômes entiers renfermant les variables x ely dans leurs différents termes, de manière que x n'entre pas à un degré plus élevé que m, ni y à un degré plus élevé que n \ si ces deux polynômes prennent des valeurs égales lorsque l'on substitue successivement à x plus de m valeurs différentes quelconques, et que, conjointement, avec chacune d'elles, on substitue plus de n valeurs différentes dey t on peut affirmer que ces deux polynômes sont composés identiquement des mômes termes

Soient les deux polynômes

Aj* + A, y— ' + A, 3— * +. . . + A„ a j* + a, j—< + A, j*-> +. . . -t- o„

les coefficients A, A, , . . . , a, a, , . . . renfermant x à un degré tout au plus égal à m.

Substituant n x la première des m-f-i valeurs données, les deux polynômes seront rendus égaux par hypothèse, par la substitution successive de n-f-i valeurs différentes de^; donc les coefficients des mômes puissances de y seront égaux, et, par conséquent, la première des m + i valeurs

Ijfo SCIEMCE DES M0M1KE3.

données dex, satisfaitaux égalités

Le mètne raisonnement prouvera que ces équations en x seront satisfaites par chacune des m + i valeurs différentes dex; et comme chacun des polynômes A, A,,..., a, a,,... renferme x à un degré inférieur à 171+ 1, ils seront respectivement égaux terme pour terme. Les deux polynômes proposés seront donc composés identiquement des mêmes termes en,x,j; ce qu'il fallait démontrer.

129. Nous ferons remarquer un cas particulier renfermé dans ce qui-vient d'être démontré et que nous rencontrerons plus lard; c'est celui où les deux polynômes euxeljr auraient des valeurs égales, pour toutes les valeurs entières de x et/, supérieures à dus limites désignées quelconques. Les raisonnements précédents démontrent que ces conditions entraînent l'identité des deux polynômes terme pour terme.

Corollaire 111. — On conclut du corollaire premier qu'une équation de degré m ne peut admettre comme racines plus de m nombres différents, positifs ou négatifs; ou bien que toute valeur y satisfait.