DES EXPOSANTS S ÈG AT IFS

130. La division d'une puissance d'une quantité quelconque a par une puissance de degré moindre de la même quantité, s'effectue par la soustraction des exposants. Ainsi

-est égal à a' -1 ou a'.

Celte règle est générale et s'appliquerait à des exposants quelconques m et h, de sorte que l'on peut toujours

simplifier l'expression du quotient — en lo remplaçant par o™~", à la condition seulement que l'on aura m> n.

Mais si l'on ignore si cette dernière condition est remplie, on se trouve entre deux inconvénients : ou de ne pas simplifier l'expression, ou de s'exposer a avoir un exposant négatif dans les cas où l'on aura m <[ n. Ce dernier inconvénient serait sans gravité si cet exposant n'avait été soumis à aucune opération, parce que, connaissant son origine, on n'aurait qu'à remplacer a m ~" par — — qui serait la véritable indication simplifiée du quotient; mais si l'exposant négatif a été soumis à des opérations, il aura élé traité d'après les règles relatives aux exposants positifs, et il s'agit de savoir si les résultats auxquels on sera parvenu

rîcux, môme en remplaçant les exposants négatifs par des exposants positifs aux dénominateurs.

Supposons donc des exposants négatifs provenant d'une soustraction effectuée eu vue de la division de deux puissances d'une même quantité a. L'expression a~ m signifiera par conséquent que l'exposant du diviseur surpassait de m

celui du dividende, et le quotient était

En entendant ainsi les exposants négatifs, voyons quelles règles il faut suivre pour obtenir des résultats exacts dans les diverses opérations auxquelles ils peuvent Être sonmis.

Î3t. Multiplication. — Soit à multiplier aT" par a" B , ou, d'après leur signification, par ~^ • Ce produit est qui, écrit avec la notation des exposants négatifs, deviendra a~"""- Donc, pour avoir la représentation du véritable produit par un exposant négatif, il faut réunir les exposants — m et — n en leur conservant leurs signes.

142 SCIEKCB DES SOMBRES.

Soit maintenant à multiplier a-" par a", c'est-â-dire — par a", on aura a"~" si n est plus grand que m; sinon ce sera qui s'écrirait encore a"~ m dans la notation des

exposants négatifs; on voit donc encore dans ce cas qu'il faut réunir les exposants avec leurs signes, et qu'on aura ainsi le produit cherché ou au moins sa représentation en exposant négatif.

Si donc on appelle addition la réunion de quantités, en conservant leurs signes tomme dans le cas des polynômes, on pourra dire que la multiplication des quantités affectées d'exposants positifs ou négatifs, s'effectue par l'addition des «posants ; et que le résultat ainsi obtenu sera le vrai produit, ou au moins sa représentation dans le système de notation des exposants négatifs.

132. Division. — Si l'on a a diviser ar m par or*, c'està-dire —par —, on trouvera a" - '" si n est plus grand que m,

et si on a m > n. On aura donc le quotient véritable, ou au moins sa représentation, en réunissant — m avec n, e'est-à-dire avec l'exposaut du diviseur changé de signe. Et si on appelle cela soustraire — n, on pourra dire que le quotient est représenté en exposant positif ou négatif, en retranchant l'exposant du diviseur de celui du dividende.

Les autres cas de la division donneraient des résultats analogues.

133. Élévation aux puissances. — Soit a~ m à élever à la puissance n. En remplaçant a - "" par i qu'il représente,

on trouvera ^pour la puissance n"*"; et sa représentation

en exposant négatif serau-""'. Or, c'est ce qu'on obtiendrait en multipliant l'exposant — m par n d'après les règles des polynômes. On peut donc encore dire que l'élévation à la puissance se fait d'après les mêmes règles pour les exposants positifs ou négatifs, en entendant toujours de la même manière les opérations sur les quantités négatives isolées.

Enfin, si on voulait élever ar" à la puissance — n en entendant que cette puissance — n signifie l'unité divisée par la puissance positive, il faudrait d'abord remplacer

ar™ par— et diviser l'unité par la puissance n de —, ou par— , ce qui donnerait a™". Or, c'est précisément ce qu'on obtiendrait en multipliant — ni par — n suivant la règle ordinaire des signes.

Donc enfin on élève une puissance quelconque positive ou négative de a à une puissance positive ou négative, par la multiplication des exposants suivant les règles des signes établies pour les polynômes.

134. Ou voit donc que l'on pourra effectuer la division des puissances d'une même lettre, par la soustraction des exposants, sans s'inquiélet do savoir lequel est le plus grand. S'il s'introduit de celle manière des exposants négatifs, il n'en résultera aucune erreur en les traitant d'après les mêmes règles que les exposants ordinaires, et en entendant qur les opérations sur les quantités négatives isolées soient effectuées d'après les règles des signes des polynômes, et sans y attacher aucun sens. Il ne faut y voir qu'un moyen àe généralisation démontré exact sous ces conditions.