CHAPITRE XIX

DE QUELQUES TENTATIVES DE DÉMONSTRATION, RELATIVES AU CALCUL DES QUANTITÉS NÉGATIVES ISOLÉES.

110. Dans ce qui précède, nous n'avons introduit la considération des quantités négatives isolées que pour généraliser des formules, et renfermer eu uu seul les résultais différents de plusieurs calculs analogues. Ces quantités négatives ont été tantôt des données, tantôt des inconnues; et, dans tous les cas, la généralisation étant obtenue à la condition de les traiter de la même manière que si elles n'étaient pas isolées, il n'y avait aucune règle à démontrer, et la recherche de ces règles n'aurait eu absolument

Quant à l'interprétation des valeurs négatives des inconnues, elle ne pouvait offrir aucune difficulté, puisque tout était prévu dès l'origine, et qu'on savait ce qu'indiquerait leur apparition.

Mais, quoiqu'on ail toujours reconnu que les quantités

s'est pas toujours assujetti à le démontrer ; et des géomètres éminents onl cru possible de démontrer, pour le calcul de ces quantités, des règles qui dispenseraient de toute discussion particulière. Nous allons en indiquer quelques-unes, el ou reconnaîtra facilement combien elles sont illusoires.

ISO. Démonstrations de Lapltice. — On trouve les passages suivants dans la première leçon faite à l'Ecole Normale par ce grand géomètre :

b Pour soustraire une quantité algébrique d'une autre,

tria eciEHCE de» nombres.

on écrit, à la suite de la quantité dont on soustrait, la quantité à soustraire, en changeant les signes de tous ses termes, ensuite on fait la réduction. Cette règle est évidente quand le nombre à soustraire a lu signe ^- : supposons qu'il ait le signe — , et que l'on propose de soustraire — h de a\ je dis que le résultat de l'opération est a + b, En effet, le nombre a = a + b — b; en retranchant — b sous cette forme, c'est évidemment effacer — 6, et alors il reste a+ h.

» Pour effectuer la multiplication, si le multiplicande cl le multiplicateur ne renferment qu'un terme, on multiplie leurs coefficients numériques, on ajoute les exposants des lettres semblables. . . .

« Quant au sigue du produit, il doit Être positif, si les signes du multiplicande et du multiplicateur sont les mêmes; s'ils sont différents, le signe du produit doit Être négatif. Celte règle présente quelques difficultés; on a de la peine ri concevoir que le produit de — a par — b soit le même que celui de a par b. Pour rendre cette identité sensible, nous observerons que le produit de — a par -f- b est — ab, puisque ce produit n'est que — a répété autant de fois qu'il y a d'unités dans b. Nous observerons ensuite que le produit de — a par b — b est nul, puisque 3e multiplicateur est nul ; ainsi le produit de ~ a par -t- b étant — ab, le produit de — a par — b doit Être d'un sigue contraire, ou égal n -I- ab, pour le déiruîrc.

« Quant à la division, si le dividende cl le diviseur ne renferment qu'un seul terme, on divise le coefficient numérique du dividende par celui du diviseur, etc. Enfin ou donne au quotient le signe H- ou le sigue —, suivant que les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes ou contraires. Tout cela résulte de ce que le produit du quotient par le diviseur est égal au dividende, «

Dans tout cela Laplacc suppose les quantités négatives isolées; et si d'abord il considère la soustraction d'un po-

Liiïtizod t>y Cl!

MAirntE xix. i63 lynôœe, il l' abandonne aussitôt pour se demander comment . soustraire — b de a, question qui n'a aucun sens. Pour y répondre, il ajoute et retranche h de a, ce qui lui donne a + b — i, et il regarde comme évident que rctraitcher — b c'est l'effacer, ce qui est un non-sens double; car c'est d'abord supposer qu'on attache un sens n la soustraction de — b, qui n'en a aucun, et ensuite que la soustraction algébrique soit la suppression non pas d'un nombre, mais d'une opération.

181. Passons ;'i la multiplication. Il admet que — a multiplié par b donne — ab, par la raison que c'est la répétition de — a un nombre de fois inarqué par b. Mais si — a isolé n'a aucun sens, que signifie la répétition de — «? Cela admis, il remarque que tout produit dont le multiplicateur est b — idoit être nul; d'où il conclut que — a multiplié par b — b donne pour produit léro. Or— a multiplié par le premier terme Adonne, comme il vient de l'établir, — ab ; donc il est nécessaire que le second terme, ou le produit de — a par — b. donne -+- ah pour le détruire.

Celle démonstration pèche d'abord, comme la précédente, en ce qu'on se propose de multiplier — a, ce qui n'a pasde sens. Et ensuite, en prenant pour multiplicateur b — b qui est un polynôme, lu quantité négative — b n'est plus isolée : de telle sorte que, s'il avait pris un multiplicande réel, par exemple m — a, il aurait démontré que — a multiplié par — b donne un terme -1- ab au produit, quand — a et — b sont des termes de facteurs polynômes. Il ne prend donc même pas la question qu'il annonçait, savoir : la multiplication de deux quantités négatives isolées.

Quant à la division de deux monômes, dont l'un au moins est négatif, c'est de même une opération qui n'a pas de aens, et qu'il ramène à la multiplication d'après la défi* nilion qu'on en donne quand elle signifie quelque chose.

l64 SCIENCE DES SOMBRES.

Et nom dirons généralement que toute démonstration de règles sur les quantités négatives isolées, ne peut Être qu'une illusion, puisqu'il n'y a aucun sens à attacher à des opérations arithmétiques sur des choses qui ne sont pas des nombres, et n'ont aucune existence réelle.

SI LES QUÀflTITES NÉGATIVES ISOLÉES DOIVENT ETRE DITES PLUS PETITES QUE ZEIO.

132. Euler, dans son Introduction à i Analyse infinitésimale, a dit que les quantités négatives étaient moindres

D'Alcmbert, dans le premier volume de ses Opuscules mathématiques, s'exprime ainsi n ce sujet :

l'idée qu'on donne quelquefois des quantités négatives, en disant que ces quantités sont au-dessous de zéro. Indépendamment de l'obscurité de cette idée envisagée mélaphysiquement, ceux qui voudront la réfuter par le calcul pourront se contenter de considérer celte proportion

proportion réelle, puisque le produit des cxtrftmcs est égal au produit des moyens, et que dailleurs — - — — t et ■ — — — i. Cependant, si on regardait les quantités négatives comme au-dessous de zéro, i serait > — i, et — !<•; ainsi il ne pourrait y avoir proportion. Il est vrai que M. Leïbnitz prétend que — 1 n'est pas moyen proportionnel entre i cl i, non plus que — a entre i et 4, quoiqu'il avoue que — !X — a = i X4 i « parce que .les » quantités négatives, dit-il, entrent dans le calcul sans

u entrer tl ans 1rs rapports, cl que (les fraction» ne sont pas la » même chose que des rapports, u J'avoue que je ne sens point la force ni la vérité de cette raison : elle tendrait à renverser toutes les notions algébriques par des limitations inutiles et forcées; et elle ne serait juste d'ailleurs qu'en supposant que les quantités négatives sont au-dessous dt!

153. Carnot approuve la réfutation de d'Alembert, et s'exprime en ces termes, au commencement de sa Géométrie de position :

« Les notions qu'on a données jusqu'ici des quantités négatives isolées, se réduisent à deux : celle dont nous venons de parler, savoir que ce sont des quantités moindres que zéro ; et celle qui consiste à dire que les quantités négatives sont de même nature que les positives, mais prises dans un sens contraire. D'Alembert détruit l'une et l'autre de ces notions. 11 repousse d'abord la première par un argument qui me parait sans réplique.

n Soil, dit-il, cette proportion ;

Si la notion combattue était exacte, c'est-à-dire si — t était plus petit que zéro, à plus forte raison serait-ï! moindre qui; i; donc le second terme de celte proportion serait moindre que le premier; donc le quatrième devrait être moindre que le troisième, c'est-à-dire que i devrait être moindre que — i; donc — i serait tout ensemble moindre et plus grand que i, ce qui est contradictoire. »

Ces diverses opinions sont aussi peu fondées les unes que les autres.

Et d'abord, quand on nie que les quantités négatives soient moindres que zéro, il faudrait demander à ceux qui l'affirment, ce qu'ils entendent par là; autrement on ne

saurait pas ce que l'on nie. Et si on l'avait fait, on aurait uni par s'entendre; car il n'est jamais venu à l'esprit de personne de prétendre qu'il y ait quelque chose de plus petit que rien.

Quanta la prétendue démonstration de d'AIcmhert, approuvée par Carnot, il est bien étrange que ces deux illustres géomètres n'en aient pas aperçu le défaut.

Que signifie celte proportion i : — 1 : : — i : i? d'où vientelle? comment l 'en tend- on ? Est-elle résultat, ou donnée? Si l'on entend qu'on fasse les divisions d'après les règles des signes dans le cas des polynômes, on dira en effet que

le rapport — est — i, comme le second i et on pourra

appeler leur égalité une proportion. Mais on n'attachera réellement aucun sens à ces opérations, et les remarques faites dans lo cas des véritables proportions n'auront aucune raison de s'appliquer ici : et l'on ne pourrait dire que ai le premier terme d'un rapport est plus grand que le second, il en doit être de même dans l'autre. Quelle définition doimera-t-on de plus grand ou plus petit, relativement à des choses qui ne sont pas des grandeurs?

Ces observations suffisent pour montrer le vide de ces simulacres de raisonnements, qui se font sur des choses non définies, 6ans existence réelle, et où l'ou se sert de propositions établies sur des grandeurs véritables.

155. Nous ajouterons cependant que si nous avons soulevé celle question, ce n'est pas seulement pour mettre en garde contre ce que l'on dit de défectueux à son sujet; c'est aussi pour montrer comment, contrairement à l'opinion de d'Alembert et de Carnot, il peut y avoir lieu de considérer les quantités négatives comme plus petites que zéro. Il est nécessaire pour cela de rappeler les premiers principes du calcul des inégalités, qui sont si simples, que nous

CHAVIIKE XIX. l6j

n ayons pas cru devoir nous CD occuper spécialement, mal» qui nous oflriront des discuisions intéressantes dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie.

Lorsqu'une inconnue doit satisfaire à une condition d'inégalité, on en lironon une râleur, mail une limite, supérieure ou inférieure, pour cette inconnue. Pour y parvenir on fait passer les termes d'un membre dans l'autre, suivant les mêmes règles que pour les équations j et comme on peut multiplier ou diviier par un même nombre absolu les deux membres d'une inégalité sans en changer le sens, on pourra chasser les dénominateurs, et réunir dans un même membre tous les termes affectés do l'inconnue; il suffira alors de diviser les deux membres par son coefficient, pour avoir la valeur et le sens de la limite cherchée. Mais a! les nombres connus sont représentés par des lettres dont les valeurs puissent être prises arbitrairement, on sera exposé, comme dans le calcul des équations, à trouver des soustractions impossibles quand on particularisera cei valeurs ; et l'un des membres, ou même tout les deux, pourront ae présenter sous la forme de quantités négatives.

Si, par exemple, en partant de l'inégalité

a~C<d—b, et que dans uu cas particulier on ait

et, par suite,

d'.prè, .e réduira i

iSS SCIBHCE DES BOMBEES.

et, comme a — «est négatif, l'inégalité (3) exprime qu'une quanti té négative c« plus petite que léro.

Et c'est ce que l'on trouvera toutes les fois que l'on retranchera des deux membres d'une inégalité une quantité égale au plus grand membre, comme ou l'a fait sur (t), dont on a retranché c -t- b ou son égal c -t- d aux deux membres.

Au reste (3) n'est qu'une manière d'écrire n<c, et l'on devra préférer cette dernière; mais l'autre n'aura aucun inconvénient, si on sait qu'elle provient de ce que l'on a soustrait une quantité trop forte aux deux membres. Et

possibles dans les cas particuliers que l'on pourra avoir à considérer, il faut se résigner à accepter cette forme de l'inégalité, ou ne pas faire le calcul général. Mais ce serait se priver de l'avantage des solutions générales, et sans aucun intérêt, puisque la forme bizarre du résultat est interprétée d'avance, et pourra être changée sans difficulté.

Et si l'on avait retranché des deux membres une quantité qui dans un cas particulier se trouverait supérieure au plus grand membre, les deux membres se trouveraient négatifs, et celui qui aurait la plus grande valeur absolue serait indiqué comme le plus petit; de sorte que les quantités négatives seraient appelées d'autant plus petites que leur valeur absolue serait plus grande. Et tout cela serait d'accord avec les propositions qtrt ont lieu dans le cas des nombres absolus. Par exemple, si on ajoute une quantité absolue plus petite qu'une seconde, la somme est moindre que si on ajoutait la seconde; or il en sera de même pour l'addition de quantités négatives, telle qu'on l'entend, pourvu qu'on regarde comme la moindre de deuv quantités négatives celle qui a la valeur absolue la plus grande.

Au reste, les inégalités dont les deux membres sont négatifs prendront une forme réelle, en faisant passer res-

WUPrrnE xtx. 169 pectivement les termes d'un membre dansl'autre; et c'est ce qu'on aurait fait d'abord si ou avait prévu que les résultats auraient ëié négatifs. Ainsi l'inégalité — 5 < — 3 deviendra 3 < 5; l'inégalité — a <o deviendra o <a. Si cependant il j avaitle moindre avantage à lia laisser sous l'autre forme, il faudrait la faire puisque les résultats s'interpréteront toujours sans difficulté.

156. Ce que nous venons de dire s'applique à toutes les transpositions de termes, et généralement aux additions ou soustractions des membres des inégalités. Si on effectue ees opérations suivant les règles ordinaires, et sans s'inquiéter des signes des membres, les résultait seront toujours exacts, et réductibles à une forme intelligible par elle-même. Mais quand on veut faire des multiplications ou des divisions sur les deux membres d'une inégalité, il faut avoir grand soin de s'assurer si ces multiplicateurs ou diviseurs sont des nombres absolus, ou, comme on le dit, des nombres positifs. Car, d'après la manière dont on entend les opérations eur les quantités négatives, on multipliera par — a en multipliant par a et changeant le signe du produit. Si donc on commence par multiplier ou diviser les deux membres de l'inégalité par a, on aura une inégalité vraie; mais si ou change ensuite les signes des deux membres, il faut renverser le sens de l'inégalité ; car le changement de signe de tous les termes revient à un changement de membre.

Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet : les cas que nous omettons s'expliqueront toujours sans difficulté par les mÉmcs considérations. Et la conclusion de celte discussion est que, si l'on veut avoir des procédés généraux pour le calcul des inégalités, on est forcé de dire que les quantités négatives sont traitées comme plus petites que zéro, et d'autant moindres qu'elles ont plus de valeur absolue; et que