CHAPITRE XX. l

la multiplication des expressions imaginaires en nombre quelconque.

163. Cela posé, nous allons démontrer que, de même que dans le cas des facteurs réels, le produit de plusieurs facteurs imaginaires ne peut devenir nul que si l'un de ses facteurs est nul. Pour cela, considérons d'abord le produit de deux facteurs

qui est

66' + ( a 6'+ n'ejv/^î}

pour qu'il soit nul, il faut, d'après eu qui a été entendu, que l'on ait séparément

bu'— es"— o, «6'+ «'g = o.

Or nous allons prouver que ces deux équations exigent que l'on ait ou œ = o, 6 = o, ou a'—o, ê' = o. Eu effet, supposons que ni a, ni £ ne soient nuls; tirant do la première équation $'= — , et le reportant dans l'autre, on aura, en multipliant ensuite par ë,

ce qui exige qu'on ait et, par suite,

Si l'une des deux quantités n, S était seule nulle, on arriverait à la même conséquence; car, si a = o, les équations précédentes deviennent

« 84 SCIBKCE DES HOMBHES.

puisque S n'est pas zéro. El, si c'est 6 qui est nul, elles de-

Concluons donc généralement que, pour que le produit de lieux expressions imaginaii-es de la forme a ■+- b V — i soit nul, il faut que l'une des deux le soit.

106. On peut étendre cette proposition à un nombre quelconque m de facteurs imaginaires ou réels ; le produit peut être considéré comme résultant de la mut tî pli cation de deux facteurs, l'un qui serait le produit des ni — i premiers et serait encore de la forme a -H b y—l, b on a pouvant être nuls, Vautre qui serait le dernier des facteurs proposés. Il faudra donc, pour que leur produit soit nul, ou que ce dernier facteur suit nul, ou que le produit des m — i premiers le soit. Supposons que le dernier facteur ne soit pas nul ; le produit des m — I premiers le sera donc. De même, si le dernier de ce produit, ou ['avant-dernier des proposés n'est pas nul, le produit des (m — 2) premiers le sera. En continuant ainsi, ou arriverait jusqu'au premier facteur, si aucun des antres n'était nul, et il faudrait que ce premier le fût.

Donc, pour que le produit de m expressions réelles ou imaginaires de la forme A H- B V*— 1 soit nul, il faut que l'une de ces expressions au moins le soit.