CONTINUITÉ

175. On dit qu'une quantité varie d'une manière continue, lorsqu'elle ne passe d'une quelconque de ses valeurs à une autre quelconque, qu'eu passant par toutes les valeurs intermédiaires,

Une quantité qui dépend d'une variable, est dite fonction continue de cette varitihte , lorsque, cette dernière passant successivement d'une valeur à une autre d'une manière continue, la fonction prend des valeurs réelles correspondantes, qui varient elles-mêmes d'une manière continue. Il arrive souvent que cette condition ne soit remplie qu'entre certaines limites de la variable dont elle dépend, et qui s'appelle variable indépendante, parce que ses valeurs sont choisies arbitrairement.

Sous cette dénomination de valeurs, nous comprenons les quantités négatives aussi bien que les positives, et nous entendons que les opérations s'effcctueni suivant les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes, et que l'ordre de grandeur de ces valeurs soit réglé comme il a été dit dans le chapitre XIX.

Ainsi, nous dirons qu'une variable est continue entre les valeurs — 4 "t — 7, lorsqu'elle ne passe de l'une à l'autre qu'en passant par toute valeur négative dont le nombre absolu est compris entre 4 et 7. El si les valeurs limites que l'on désigne étaient de signes contraires, comme par exemple ■+■ 3 et — 5, nous appellerons continue entre ces limites une variable qui ne passera de l'une à l'autre

termédiaires, d'après les explications données chap. XIX; et ces valeurs sont tous les nombres positifs compris entre 3 et zéro, le nombre zéro lui-même, et tous les nombres négatifs de o à — 5. C'est là ce que nous entendrons toujours par continuité; et c'est là ce qu'il faudra établir pour que la continuité soit démontrée.

176. Pour démontrer qu'une fonction qui, entre certaines limites de la variable, prend des valeurs réelles correspondantes à chacune de celles de cette variable, est continue, il suffit de faire voir que l'on peut faire croître cette

camxRB xxii. i 97 dernière par degrés assez petits pour que les changements correspondants de la fonction soient moindres qu'une grandeur désignée quelconque.

En effet, supposons d'abord que toutes ces valeurs soient de même signe; si cette fonction, dont on peut considérer les valeurs absolues seulement, n'était pas continue, il faudrait qu'elle passât brusquement d'une certaine valeur à une autre, qui en différerait d'une quantité finie; ce qui est absurde, puisque la variation de la fonction peut être rendue moindre que toute grandeur donnée. Donc, sous la condition admise, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toute valeur intermédiaire; elle est donc continue, soit que toutes ses valeurs soient positives, soit que toutes soient négatives.

177. Si la fonction passe du positif au négatif, et qu'il soit démontré qu'à partir de toute valeur de la variable entre les deux limites les accroissements de la fonction puissent devenir moindres que toute grandeur donnée, il est facile de démontrer qu'elle passera par toutes les valeurs intermédiaires entre deux quelconques de celles qu'elle peut prendre, les intermédiaires étant entendues comme nous l'avons expliqué, et zéro étant regardé comme compris entre deux nombres quelconques de signes contraires. Soient, en effet, -H A et — B deux des valeurs de la fonction F (x) ; prenons une quantité constante M plus grande que la plus grandi: valeur absolue des résultats négatifs que donne F (x) pour toutes les valeurs de x; les accroissements de la fonction M-t-F {x) pourront, d'après l'hypothèse, avoir des valeurs moindres que toute quantité donnée, et, par conséquent, celte fonction toujours posi-

qu'elle passera par toutes les valeurs intermédiaires entre les deux extrêmes M + A et M— B. Elle passera donc

ig8 SCIENCE DES NOMBRES.

par la valeur M qui est comprise entre elles. Mais quand M-r-F(x) sera réduit à M, F (x) sera. zéro. Donc la fonction F (x) ne peut passer d'une valeur à une autre de signe contraire sans passer par zéro.

Maintenant, en partant de la valeur de x qui rend la fonction nulle, et considérant les valeurs toujours 'positives que celle-ci prend d'un côté, puis les valeurs toujours négatives qu'elle prend de l'autre, ou rentre dans le premier cas, où nous avons démontre la continuité. D'où se tire donc la conséquence générale suivante :

Si, à partir de toute valeur de x comprise entre deux limites déterminées, on peut donner à x un accroissement assez petit pour que la fonction prenne un accroissement moindre qu'une quantité désignée quelconque, cette fonction sera continue dans cet intervalle, c'est-à-dire qu'elle passera par toute valeur intermédiaire entre deux quelconques de celles qu'elle prendra, en entendant que les quantités négatives son) plus petites que zéro, et d'autant moindres que leur valeur absolue est plus grande.

Réciproquement, toute fonction continue jouit de la propriété que ses variations peuvent devenir moindres que toute quantité donnée, pourvu qu'on rende suffisamment petites celles de la variable dont elle dépend : car si la variation de cette dernière, à partir d'une de ses valeurs, tendait vers zéro sans qu'il en fût de même de la variation de la fonction, il en résulterait que celle-ci passerait brusquement d'une valeur à une autre qui en différerait d'une quantité finie, et que, par conséquent, elle ne serait pas

Donnons quelques applications simples de cette méthode pour reconnaître la continuité des fonctions.

178. Premier exemple, — Considérons d'abord la fonction ax™ de la variable x; a el m étant des quantités

CIUPITRE XXII. 19g arbitraires constantes, dont la seconde est un nombre entier.

Sï, à parlïr d'une valeur quelconque X, la variable augmente de A, ax'" augmentera de

Or chacun des termes de ce polynôme peut devenir moindre qu'une quantité quelconque î. En effet, prenant le terme général et exprimant qu'il est moindre que J, on aura l'inégalité

il suffira donc de prendre /i plus petit que la racine du second membre de cette illégalité.

On peut donc prendre pour h une valeur assez petite pour que chacun des termes de l'accroissement de ax" 1 soit au-dessous de S, et que, par conséquent, l'accroissement lui-même, qui se compose de m termes, soit au-dessous de mS.

Or mù sera au-dessous d'une quantité désignée e, quelque petite qu'elle soit, si l'on prend d< — Donc l'accroissement de m", correspondant à l'accroissement h donné à x, peut devenir plus petit que toute quantité désignée, en prenant h suffisamment petit : et, par conséquent, ax™ est une fonction continue de X.