Deuxième exemple. — Considérons maintenant

aoo 9CIEBCB des hombres.

un polynôme de degré quelconque en x,

ax" + ii~-' + ...-t-ii'+/j + «.

Il vient d'Être démontre' qu'on peut donner a lun accroissement assez petit pour que chacun de ses termes croisse d'une quantité moindre que toute quantité donnée; il en sera donc de même de l'accroissement total de la somme des m termes variables; et, par conséquent, tout polynôme dont les termes ne renferment que des puissances entières et positives de x, est une fonction continue de cette variable.

Remarque. — Nous avons désigné par x une quantité qui variait d'uue manière continue; mais elle peut être elle-même une fonction d'une autre variable: nous n'avons pas supposé autre chose que la continuité de la variable x, sans nous occuper de savoir si elle était dépendante ou indépendante.

180. Troisième exemple. — Démontrons maiutenant la coutinuité de la racine de degré quelconque n d'une fonction continue de x, désignée par X.

Soit h l'accroissement que prend X lorsqu'on donne à x un accroissement arbitraire ; d'après l'hypothèse, h pourra être supposé aussi petit qu'on voudra.

Soit h l'accroissement correspondant de i^X; on aura

v'xT/i = yx-f- i,

et il s'agit de démontrer que l'on pourra prendre A assez petit pour que h soit moindre que toute grandeur désignée.

Or, pour que cela ne fût pas, il faudrait admettre que quelque petit que fût fi, k serait toujours supérieur à une certaine quantité fixe s : et alors on aurait toujours

L'i ] I Z.'"J t, Ct

CHAPITBE XXII. SOI

ou, en élevant les deux membres à la puissance n,

inégalité impossible puisqu'elle doit avoir lien quelque petit que soit fi, et que le premier membre s'approche autant qu'on voudra de X, tandis que le second, qui devrait Être plus petit, est un nombre constant plus grand que X.

Donc k peut devenir moindre que tout nombre désigné, et, par conséquent, ?X est une fonction continue de x.

X désignant une fonction continue quelconque de x, peut être un polynôme

ou même ce polynôme élevé à une puissance entière quel' conque p; et l'on peut dire par conséquent, d'après ce qui vient d'Être démontré, que

(bj* 4- 6af*~' -t- . . . 4- te + u) p est une fonction continue de x.

181. Quatrième exemple. — Faisons maintenant l'application du même procédé à la fonction qui exprime le quotient de deux fonctions continues de x, que nous désignerons par X, Y.

La définition de la continuité exigeant que pour chaque valeur de la variable la fonction ait une valeur réelle déterminée, si nous considérons l'expression ^ ? il ne faudra prendre x que dans un intervalle où aucune de ses valeurs ne rendra nul le dénominateur Y; car alors l'opération indiquée par ^ n'aurait aucun sens par elle-même. On dit cependant quelquefois que la valeur de xqui rend Y nul

aoa SCIENCE DES mohbues.

donne une valeur infinie pour ^, voulant exprimer par là que celte fraction croit sans limite à mesure que x s'approche de cette valeur particulière; mais il vaut mieux employer ce langage, qui fait connaître la chose telle qu'elle est, plutôt qu'un autre plus rapide, qui fait croire qu'il y a une valeur pour le quotient d'un nombre par zéro, en ajoutant, ce qui ch .mssi iniiilelliphlc. que ce quotient est infini. Nous admettrons donc que Ton considère seulement la variable x entre deux limites telles, qu'aucune valeur comprise entre elles ne rend Y nul.

Cela posé, si à partir d'une quelconque (îo ces valeurs on augmente x d'une quantité qui pourra être aussi petite que l'on voudra, X cl Y varieront de quantités h, h qui, d'après l'hypothèse, pourront elles-mêmes devenir moindres que toute quantité donnée. La fraction qui était 5 deviendra

et sî l'on en retranche ^, on aura pour l'expression de son accroissement

Y A — Xjt

Or le numérateur de celte fraction peut devenir moindre que toute quantité désignée, et le dénominateur est aussi voisin qu'on voudra de Y". Si ce dénominateur était constant, il serait évident, par des raisonnements semblables à ceux que nous avons déjà faits, que la fraction peut devenir au-dessous de toute valeur désignée. Mais on remarquera que si h est positif, le dénominateur est plus grand que Je nombre constant Y', et que par conséquent la fraction est plus petite encore que dans ce cas où il serait admis qu'elle

chapitiie ïsii. "<>3 petit devenir moindre que toute quantité donnée. El si h est négatif, et qu'on désigne par t un nombre fisc, aussi petit qu'on voudra , h finira par être inférieur n e en valeur absolue, de Sorte que V -I- À" sera supérieur à T — £. Or le dénominateur étant plus grand que le nombre fixe Y (Y — e), la fraction en question est au-dessous d'une fraction qui a un dénominateur fini constant, et un numérateur qui peut devenir moindre que toute quantité donnée: il en est donc de même de la fraction qui est la différence de ^ * la valeur qu'elle prend quand x prend un accroissement suffisamment petit. Donc enfin ~ est une fonction continue de x, entre deux limites quelconques qui ne renferment aucune valeur de x qui rende Y nul.

i82. Cinquième exemple. — Considérons, pour terminer, la fonction exponentielle a", dans laquelle a esc une constante quelconque, et x une variable continue.

Si, à partir d'une valeur quelconque, x augmente d'une quantité A, l'exponentielle augmentera de a 1 * 1, — a' ou a 1 (a* — i), et pour que la continuité de a' soit démontrée, il faut prouver qu'on peut donner .à h une valeur assez petite pour que er — i soit inférieure à toute quantité désignée; car il en résultera que l'accroissement a' (a h — l) pourra lui-même devenir moindre que toute quantité donnée.

Or, si n 1 — i ne peut pas devenir au-dessous de tout nombre donné, il sera toujours supérieur à une certaine valeur fixe, que nous désignerons par e, et par conséquent on aura, quelque petit que soit h,

La quantité h, qui peut diminuer indéfiniment, peut être

SCIENCE DES KOHBHES.

représentée par — i m croissant indéfiniment; et l'inégalité précédente s'écrira ainsi

et devra avoir lieu quelque grand que soit m.

En élevant les deux membres à la puissance ni, on devrait avoir

«>{. + .)-, quelque grand que fût m.

Mais on sait au eontraire qu'un nombre fixe plus grand que i, étant élevé à des puissances de degré indéfiniment croissant, le résultai peut devenir supérieur à tout nombre donné ; donc (i -+- e)'" ne peut rester inférieur à a, quelque grand que soit m. Donc enfin la différence a k — i peut devenir moindre que toute grandeur donnée, en prenant pour h une valeur suffisamment petite, et, par conséquent,

Remarque. — On fait souvent application de la proposition que nous venons d'établir dans le courant de cette démonstration, que, quand Ji leiid vers la limite zéro, l'exponentielle tend vers la limite I.

183. Nous avons admis qu'un nombre constant, supérieur à l'unité d'une quantité fixe t, aussi petite qu'on voudra la supposer, étant multiplié par lui-même un assez grand nombre de fois, peut donner un produit supérieur à tout nombre donné, quelque grand qu'il soit. On peut donner de celte proposition une démonstration si simple, que nous ne croyons pas devoir l'omettre ici.

II est d'abord évident que ces produits vont toujours en augmentant, puisqu'on passe de l'un quelconque an suivant en le multipliant par un nombre plus grand que l'uni lé. Et

ce dernier surpassant le préeédent du produit île celui-ci par le nombre constant e, il s'ensuit que la différence d'un produit au suivant va toujours en croissant. Or, quand même elle serait constante, et aussi petite qu'on "voudrait la supposer, en l'ajoutant toujours à cile-mfme elle pourrait dépasser toute grandeur : donc les puissances de degré entier de i + c peuvent dépasser tous les nombres. Et il en est de même si le degré est composé d'un nombre entier plus une fraction, puUqu'en se bornant au plus grand entier qu'il renferme, la puissance pourrait devenir plus grande que tout nombre donné, et que l'addition de la fraction à l'exposant augmente encore Je produit.