Théorème II. — Toute équation de degré impair

dm nier terme.

Nous entendons toujours qu'on a fait passer tous les termes de l'équation dans un mûmc membre, de manière que le premier terme soit positif.

Cela posé, supposons d'abord le dernier terme négatif, et substituons successivement à -t zéro et un nombre positif qui rende le premier terme plus grand que la somme des termes négatifs, le premier membre sera négatif dans le premier cas, et positif dans le second. Donc, entre zéro et ce nombre, il y a une certaine valeur qui rend le premier memlire nul ; l'équation a donc une racine réelle positive.

Si le dernier terme est positif, la substitution de zéro à x donnera un résultat positif; cl l'on aura un résullat négatif en substituant à x un nombre négatif qui rende le premier terme plus grand en valeur absolue que tous les autres ajoutés en les prenant avec le même signe. Donc, entre zéro et ce nombre, il y aura une valeur de x qui rendra le premier membre nul; et l'équation aura une racine négative.

Le théorème énoncé est donc démontré.

188. TiiÉoakME III. — Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a deux racines réelles, l'une positive, Vautre négative.

En effet, si l'on substitue zéro à x, on trouvera un résultat négatif; si l'on substitue, tantôt avec le signe +, tantôt avec le signe — , un nombre qui rende le premier terme plus grand que la somme des valeurs absolues de tous les