Tbéobeme I. — Si deux nombres p,q, substitués
bre d'une équation, donnent des résultats de signes contraires, il y a entre eux une racine de cette équation.
En effet, puisque le premier membre est une fonction continue de x, si l'on fait passer x de la valeur p à la valeur q d'une manière continue, quels que soient les signes de p et q, le premier membre de l'équation passera d'une manière continue d'une valeur k une autre de signe contraire, et par conséquent il passera par la valeur intermédiaire ïéro. La valeur de x pour laquelle il deviendra nul sera racine de l'équation proposée, dont nous supposons toujours le second membre égal à ïéro ; cl, par conséquent, celle-ci aura une racine réelle comprise entre p et q.
185. Lemme, — Si l'on considère un monôme Ax™ et un poljnôme de degré inférieur ax"~"+ bx~~°-' -f- . . . dont tous les termes sont pris avec le signe H- : >" il esïste
2(J 6 SCIEUCE DES MOSTHIES.
une certaine valeur positive lelle, que si l'on fait croître x indéfiniment à partir de cette valeur, le monôme sera constamment plus grand que le polynôme; a° leur différence ira toujours en croissant et dépassera toute grandeur désignée.
i° Posons l'inégalité
(1 ) Aj*> aaf— + +
Si l'on divise les deus membres para^ 1- ", on en aura une nouvelle
et si l'une quelconque des deux est satisfaite par une valeur donnée à a:, l'autre le sera.
Si l'on fait croître x indéfiniment, le premier membre croîtra sans limite, et le second tendra vers la limite a. Le premier membre deviendra donc nécessairement plus grand que le second. Or, si celle condition est remplie pour une certaine valeur l de x, elle le sera à plus forte raison pour toute valeur plus grande, puisque, le premier membre de (a) croissant avec x tandis que le second décroit, l'excès du premier sur le second va en augmentant. La première partie de la proposition est donc démontrée.
a 0 Si l'on prend la différence du monôme au polynôme,
3) Ai- — (a**--t-*,r-~^-l-. , .),
ou
Le fadeur ar"~" croît constamment et sans limite avec x, et nous venons de démontrer que l'excès de À^" sur
le produit (4) et, par conséquent, son égal (3), croît constamment aï ce .r, et peut dépasser toute grandeur désignée.
Remarque. — Si le polynôme renfermait des termes négatifs, l'expression (3) devrait être augmentée de tous ces termes pris avec le signe -+- ; et, comme ils vont en augmentant indéfiniment avec x, an peut dire à plus forte raison que la différence du monôme au polynôme croit constamment à partir d'une certaine valeur de x, et qu'elle peut dépasser toute grandeur désignée.
186. Si au lieu de supposer que tous les termes du polynôme sont positifs ni de deai-ri indiiidres que le monôme, on les supposait tons de degrés plus élevés, l'inégalité
(5) Ax" > aaf"~ + bx~*~+' + ...
aurait lieu pour toutes les valeurs de x décroissant depuis une certaine valeur jusqu'à zéro.
En effet, celte inégalité entraine comme conséquence la suivante, qui l'entraîne réciproquement,
Or, quand x tend vers zéro, le second membre de cette dernière tend vers la limite zéro, et, par conséquent, deviendra plus petit que A. Et à partir de toute valeur de x satisfaisant à (6), jusqu'à zéro, le second membre diminuant constamment, l'inégalité (6} sera toujours satisfaite et, par »uite, l'inégalité (G). Si le polynôme renfermait des termes négatifs, l'inégalité (5), démontrée sans en tenir compte, aurait lieu à plus furie raison.
On peut donc énoncer celle proposition, dont les applications sont très-fréquentes et d'une grande importance :
Étant donnes un monôme Ax" et un polynôme dont tous
3o8 SCIENCE DES BOMBEES.
les termes sont de degré supérieur à m, il existe «ne valeur déterminée de x telle, que toutes celles qui sont comprises entre elle et zéro, rendent le monôme plus grand que le polynôme.
