CHAPITRE XXIV

MÉTHODE DE TRANSFORMATION DES FONCTIONS ET DES ÉQUATIONS PAR CHANGEMENT DE VARIABLES.

192. Lorsqu'une fonction d'une certaine variable ne se prête pas facilement aux calculs qui ont pour objet la résolution d'une question, on peut se proposer de changer la forme de cette fonction; et à cet ellel,on la regarde comme dépendant d'une autre variable liée à la première par une relation qu'on peut se donner arbitrairement. La nature de cette relation est souvent indiquée par la question même; mais on a toujours soin d'y laisser certaines quantités indéterminées, afin que, la transformation étant opérée, on puisse profiter de celte indétermination pour simplifier le

Considérons, par exemple, une fonction F [x) de la variable x, et regardons-la comme dépendant d'une nouvelle Tariable y, dont les valeurs sont liées respectivement à celles de x par une équation que nous supposerons mise sous la forme

<j désignant une forme connue de fonction. Si l'on remplace X par cette valeur en y, F (x) deviendra

Et en effectuant les calculs on aura une certaine fonction de y qui jouira de la propriété que, quelque valeur a <ju'on y mette pour y, le résultai sera égal à celui que donneraitJFftf) si l'on y mettait pour x, Ç [a). C'est ce

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CHÀÏITHE XXIV. ai5

qui est évident d'après la forme même de la fonction F [ç (y) ]. On a donc ainsi deux fonctions qui donnent les mêmes résultats pour toutes les valeurs des variables dont elles dépendent, qui sont liées l'une à l'autre par une relation connue; et, par conséquent, la connaissance de l'une est ramenée à celle de l'autre, et généralement tout calcul dépendantde l'une peut être ramené à un calcul dépendant de l'autre.

193. Si, par exemple, F (x) est le premier membre d'une équation dont le second est zéro, la fonction F[j (/}] prenant les mêmes valeurs que F (x) quand les valeurs correspondantes de x ely satisferont à la relation

ces deux fonctions deviendront nulles en même temps ; et, par conséquent, les racines des deux équations

scroot liées par cette même relation.