CHAPITRE XXV. 2a

à satisfaire est toujours m, il y aurait n équations de conditiou entre les coefficients A,*B, . .. , U, a, b, . .. , q; et ou les obtiendrait en éliminant a, . ., (/ entre les m équa-

Noils avons déjà traité cette question par un autre procédé dans le chapitre XVII.

202. Descaries, à qui l'on doit la première idée de cette méthode, y a été conduit lorsque, dans !» solution du problème. des langMiies par le calcul, il a eu à trouver les conditions pour qu'un polynôme de degré quelconque en x, admette un diviseur qui soit le carré d'un binôme du premier degré. Il a remarqué qu'il fallait pour cela que ce polynôme fut le produit d'un trinôme de la forme

par un polynôme de degré m ~ a de la forme

' + z jf- 1 -+- 6*—' 4- ... + >* -+- p,

a, 6, fi pouvant être des quantités quelconques. Il fait alors le produit de ce dernier par x* — aax -H o'j et, après la réduction des termes semblables, il égale les coefficients des dilférenles puissances de x à Ceux du polynôme proposé, ce qui donne m équations. 11 en élimine les »n~ 3 indéterminées a, S. . . , fi, et il reste deux équations qui ne renferment plus que a et les coefficients donnés. Si a n'est pas

laquelle doivent satisfaire les coefficients du polynôme pour qu'il ait un facteur du second degré qui soit un carré parfait. Si a était un nombre donné, il y aurait deux équations de condition entre les coefficients.

Descartes a encore appliqué cette méthode à la décomposition d'un polynôme du quatrième degré en deux facteurs du second. Nous renverrons au chapitre suivant la

solution de cotte importante question, qu'il s'était proposée pour la résolution des équations du quatrième degré.

203. Remarque. — La méthode des coefficients indéterminés s'applique n un grand nombre de questions diverses, et nous eu donnerons des exemples par la suite. Ce que nous en avons dit suffit pour que l'on comprenne bien en quoi elle consiste ; mais nous devons mettre en garde contre l'abus qu'on en peut faire et qu'on en a souvent fait. Nous avons dit générali-im-nl i|ii<: ]nnir qu'une question fût complètement résolue, il était nécessaire de. démontrer que les solutions trouvées renferment toutes celles que comporte la question, et n'en renferment pas d'étrangères; mais on se dispense souvent de faire celte démonstration, et malheureuse me ut elle est quelquefois bien difficile : tout ce que l'on peut dire alors, c'est qu'il ne faut pas ignorer l'imperfection de la solution, ni surtout chercher à la cacher à ceux qu'on instruit.

Dans la méthode que nous venons d'exposer, si la forme des fonctions cherchées n'était pas démontrée d'avaace, et qu'on se la proposât hvpothétiquemeut, il ne suffirait pas de déterminer les coefficients inconuus en faisant usage des conditions de la question. Cette détermination ne serait elle-même qu'hypothétique, et il n'y a aucune raison générale de croire que l'impossibilité de la forme supposée, serait annoncée par des contradictions dans les équations qui donneraient les valeurs des coefficients. 11 est toujours nécessaire de démontrer que les solutions trouvées satisfont bien réellement à la question proposée, et même de reconnaître si elle ne pourrait pas en comporter d'autres. Tout cela peut être pénible, mais il faut s'y résoudre, ou con- ' sentir à n'avoir résolu qu'imparfaitement la question.