DÉRIVÉES DE QUELQUES FOHCTIOSS DE FOLTSÔMES DONNÉS

213. Lorsqu'on veut connaître la dérivée d'une fonction qui est le résultat d'opérations effectuées sur des polynômes donnés, et conduisant à un polynôme entier cl rationnel, on peut effectuer ces opérations et prendre suivant la règle indiquée la dérivée du polynôme obtenu.

Mais il est souvent utile de connaître la manière dont cette dérivée dépend des polynômes donnés ainsi que de leurs dérivées, et l'on n'y parviendrait pas ainsi. Cela peut d'ailleurs être plus simple, et c'est une question qu'il est important de résoudre.

Nous n'en considérerons que quelques cas très-simples, utiles pour la résolution numérique des équations.

214. Dérivée d'une somme. — Si l'on a la somme de plusieurs polynômes, pris avec des signes quelconques, et qu'on y substitue i + A à x, le coefficient total de h sera la somme de tous ceux qui proviendront respectivement de chacun de ces polynômes. D'où l'on conclut que la dérivée d'une somme de polynômes est la somme des dérivées de ces polynômes.

Il est bien, entendu que le mot somme est pris avec toute la généralité que nous lui avons donnée précédem-

213. Dérivée d'un produit. — Cherchons maintenant la dérivée du produit de plusieurs polynômes P, Q, R, . . . , dont nous représenter on s les dérivées respectives des différents ordres par P', Q', R',..., P\ Q",. Par la suhsti- '6

9^3 SCIENCE DES SOMBHES.

tution de x-hhàx, ces polynômes deviennent P + P'A+p" +

Si l'on fait le produit de ces développements et qu'on prenne le coefficient delà première puissance de A, on aura,

d'après la définition, la dérivée du produit PQU ; son

expression sera

P-QR... -j-Q'PR...-(-R'PQ...

c'esi-a-dire que

La dérivée d'un produit est la somme des produits de la dérivée de chaque fadeur par tous les autres.

21l}. Si l'on avait

le produit POR. . . deviendrait P", m étant le nombre des facteurs. L'expression de Ja dérivée du produit PQR. . . deviendra raP" 1 " 1 ?'. Donc:

La dérivée de la puissance m'™' d'un polynôme P je forme en prenant la dérivée de P" par rapport à la -variai/le P, qui sera iuV~-', et la multipliant parla dérivée P' de P par rapport à x.

Si le polynôme P était un binôme du premier degré x — a, sa dérivée par rapport à x serait i, et par conséquent la dérivée de (x — a)" sera m [x — a)™ - *.

Si P était aj: — a, dont la dérivée est 3, la dérivée deP" ou de {ax — a)" 1 serait m (ax — a)"-'*,