Prenons encore pour exemple le produit

la dérivée sera

ou la somme des quotients du produit proposé par chacun de ses facteurs successifs.

SIS. Enfin, soil le produit

l— )■(— i]T<»-./..., que nous désignerons par X.

Considérons les facteurs P, Q, R, . . . comme étant respectivement

[m — r. ( — *K, C-tf,..., la dérivée du produi t X, ou X', sera

»{*-»)-'{*-*y>- cf...

+ P {*-&r'&—>Y[*-cf...

La composition de cette dérivée donne lieu à une re- ' marque importante. L'n facteur quelconque, du premier degré, par exemple (x — a), qui est facteur dans X à la puissance n, est facteur dans X' a la puissance n — i seulement. En effet, si l'on y met [x — a)" - ' en facteur, l'autre facteur se composera de deux parties, l'une qui aura en facteur x — a au premier degré, et l'autre qui sera

de sorte que ce second facteur ne s'annulerait pas par l'hypothèse x = a, et, par conséquent, ne serait pas divisible par \x — a).

La mémo chose pouvant se dire île tous les autres facteurs du premier degré de X, on en conelut ce théorème : La dérivée de X'/ient je meure sous Informe

Q étant un polynôme qui n'est divisible par aucun des facteurs du premier degré, x — a, x — b, . . . .

COMMENT LES DÉRIVÉES FONT RECONNAITRE SI LES FOBCTtONS SONT CROISSANTES OU DÉCROISSANTES.

219. Il est souïcdI utile de savoir reconnaîlrc dans quel sens varie une fonction lorsque l'on augmente la variable dont elle dépend, à partir d'une valeur donnée. Or c'est à quoi l'on parvient facilement au moyen des dérivées de celle fonction, que nous supposons toujours réductible à un polynôme, quand on effectue toutes les opérations indiquées.

Soit x la valeur à partir de laquelle la variable augmente d'une quantité indéterminée /i, à laquelle on pourra supposer un signe quelconque; et F [x) la fonction proposée.

Nous savons qu'on aura

d'où

V(x + h)~-E[x) = kF(x)+ iL F »(.r)+....

L'accroissement de la fonction, quand la variable passe de x ii x-\- /», est donc représenté par un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes [de h; et nous avons démontré que depuis une certaine valeur de À jusqu'à zéro, le premier terme AF'(i) aurait une valeur absolue

CHÀPITBE XXVII. 0^5

plus grande que la somme de tous les autres, pris avec le même signe.

Il résulte de là que le second membre est une quantité de même signe que A F' [x). L'accroissement de la fonction, qui est F (x -h A) — F [x), est donc aussi de même signe que/iF'(a;). D'où résulte cette importante conséquence :

Un polynôme commence par varier lîani le mémo sens que la variable à partir d'une -valeur quelconque de x, lorsque pour cette valeur la dérivée est positive : il varie en sens opposé si la dérivée est négative.

220. Remarque. — Si, pour la valeur dex que l'on considère, on avaii F' (x) = o, le premier terme do l'expression do l'accroissement de la fonction serait

donc, depuis A = o jusqu'à une certaine valeur déterminée, le signe du polynôme serait le même que celui de A*F°( x), ou simplement de F" [x], puisque A' est nécessairement positif. D'où se tire celte conséquence :

A partir d'une valeur de x qui rend F' {.r) = o, un changement de la variable dans un sens quelconque produit toujours un changement de même sens dans la fonction; il est de même signe que F" (x).

Mais si F" {x) était nul ainsi que F' (x), l'accroissement serait de même signe que fi i F' l, {x). La variation de la

de la variable x; elle serait de même sens que celle de x, si F"(x) était positive, et de sens contraire si F*(:e) était négative. Des conséquences analogues se produiraient si la valeur du x annulait un plus grand nombre de fonctions dérivées consécutives.

SCIENCE DES HOHBltES.

231. Lorsqu'une fonction de a: varie d'une manière continue, et que la variation de x à partir d'une valeur particulière a, dans l'un on l'autre sens, produit une diminution dans la valeur de la fonction, même lorsque cela n'aurait lieu qu'entre deux limites très- voisin es de a, on dit que pour cette valeur a de la variable la fonction a une valeur

Si. dans les infimes lircoustances, il y avait augmentation de la fonction au lieu d'unediminution, on dirait que la valeur de la fonction est minimum.

Il est facile, d'après ce qui précède, de ramener à la résolution d'une équation, la détermination des valeurs particulières de J' auxijurlh's r miTSjU'tulenl t-rs valeurs remarquables de la fonction, lorsque du moins elle est réductible à un polynôme entier et rationnel.

En effet, considéra»!, les valeurs de x cuire les deux limites dont nous avons parlé, qui comprennent une valeur a à laquelle correspond un maximum ou un minimum de F{x), on voit qu'en faisant passer x dune manière continue de la plus petite limite à la plus grande, la fonction, dans le cas du maximum, ira en croissant jusqu'à x = a et uédiatementàdécroître.DoncF(j:) a, et deviendra immédiatement né- 11 delà. La fonction F'(x), qui est continue, passe donc par zéro entre les deux limites; et cette valeur ne peut correspondre qu'à x = a, puisque pour les valeurs moindres elle est positive, cl négative pour tes plus grandes. L'în- . verse aurait lieu dans le cas du minimum. D'où l'on conclut celle proposition :

Les valeurs de x, qui rendent maximum ou minimum la valeur d'un polynâme, rendent nulle sa première dérivée.

aposmlju

CIlAriTUE XXVII. a^j

Il s'ensuit que si l'on no considère que des valeurs réelles pour la variable x, il faudra chercher les racines réelles de l'équation

et il ne restera plus qu'à s'assurer pour chacune d'elles si «Ile donne un maximum nu un minimum.

Et même il faut bien remarquer que* l'équation

n'étant qu'une conséquence nécessaire de la supposition que F (x) est maximum ou minimum, el que nous n'avons pas démontré la réciprocité, il est possible qu'elle renferme des solutions étrangères.

Soit donc a une racine réelle de celte équation, l'accrois, sèment de la fonction aura l'expression suivante :

et comme c'est à partir de a qu'on doit considérer les variations de x, et dans un intervalle qu'on pourra supposer aussi petit qu'on voudra, c'est pour des valeurs de k partant de zéro, entre deux limites de signes contraires et aussi petites qu'on voudra, qu'il faut étudier le signe de l'accroissement de F (a;).

Or, ce signe est le même que celui de A* F* (a) ou de F" {a), quelque signe qu'ait h. Donc on aura un maximum si F" (a)<o, et un minimum si F" (a) >o.

Maïs il n'y aurait ni l'un ni l'autre si l'on avait

et que F" (a) fût différent de zéro; car le signe du développement serait le même que celui du premier terme, ou

2^8 SCIENCE DES «OMBRES. — CRllFIT&Ë XXVII.

de /i s F"'(o) , et par conséquent changerait avec le signe Je h. La valeur de a serait alurs étrangère au problème proposé.

Si cependant on avait en outre

le signe du polynôme serait celui de 7i'F" [a] ; il ne dépendrait donc pas du signe de h, et il y aurait maximum si l'on avait F"(.)<o, et minimum si F" [a] >o. On continuerait serablablemenl s'il y avait un plus grand nombre de dérivées à s'annuler pour x = a.