CHAPITRE PRElflIEB

Analyse de différentes méthodes que l'on peut suivre dans la solution des problèmes ou dans la démonstration des théorèmes de géométrie.

i . Ri[flcxioiis générales sur l'utilité (Punc classification des divers procédés que l'on peut employer pour résoudre les questions de géométrie. — Nous nous proposons , dans ce chapitre , de présenter une classification rationnelle des différentes méthodes que l'on emploie en géométrie pour la démonstration des vérités déjà acquises ou pour la solution des problèmes.

Sans doute une pareille classification aura quelque chose d'arbitraire , et les méthodes auxquelles nous donnerons des dénominations différentes , en les regardant comme parfaitement distinctes , pourront avoir bien des points de ressemblance. Toutefois, et malgré ce défaut inévitable, une classification aura cet avantage de définir d'une manière plus nette plusieurs des méthodes que peut suivre l'esprit dans ses efforts pour établir une vérité géométrique, et qu'il suit quelquefois confusément, en ne se rendant pas un compte exact des opérations auxquelles il se livre : elle éclairera les routes que nous avons suivies pour l'établissement des vérités élémentaires; et, donnant pour ainsi dire à chacune d'elles un numéro d'ordre, elle nous permettra de les aborder successivement, sans confusion, jusqu'à celle qui nous montrera d'une manière plus visible le but que nous voulons atteindre.

Ainsi que le fait observer M. Lamé dans son excellent ouvrage : Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, la multiplicité même des moyens que peut employer la géométrie pour arriver au but proposé , paraît d'abord devoir écarter les méthodes générales et laisser l'esprit incertain de la route qu'il doit choisir parm toutes celles qui sont ouvertes devant lui.

2 I>KS >1ETII0Î)ES EX GEO.METRIE.

Celte inccrliliule, qui, cnluissanl de côté des hasards heureux, frappe de stérilité les recherches inhabiles, provient précisément de l'absence de méthodes nombreuses et nettement définies parmi lesquelles on puisse, par des essais successifs , rechercher celle qui s'adapte le mieux à la question proposée.

Nous allons commencer l'exposition de plusieurs de ces méthodes , en avertissant , ce qui sera sans doute superflu , que nous n'attachons pas une réalité absolue à la séparation ou classification que nous en avons faite , et que nous sommes surtout très-éloigné de croire avoir prévu toutes les voies que l'on peut sui\ re dans la recherche directe des vérités géométriques.

2. Deux méthodes générales. — Jnairse et Synthèse. — Les moyens si variés que l'on peut employer pour établir une proposition de géométrie peuvent tous se rattacher à deux méthodes principales : la méthode par analyse et la méthode par synthèse.

1°. Une proposition sera démontrée par la méthode analytique si, on prenant pour point de départ les relations données, explicitement ou implicitement, entre les éléments que l'on considère, on parvient, par un dénombrement complet de toutes ces relations, ou seulement par un choix intelligent des relations utiles et leur transformation , à faire voir qu'elles entraînent nécessairement les relations affirmées par la proposition.

i". La synthèse peut arriver au même but par deux voies distinctes :

Soit en excluant entre les éléments considérés toutes relations différentes de celles affirmées par la proposition ( Foii- ci-après la méthode par la réduction à l'absurde ) ;

Soit en admettant les relations à démontrer, les prenant pour point de départ, et faisant voir que, par un enchaînement mutuel , elles entraînent des relations comprises dans les relations données.

Il est peut-être inutile d'ajouter que l'on ne saurait parvenir à la solution d'un problème quelconque que par une suite de raisonnements dépendant essentiellement de la méthode analytique, la synthèse pouvant intervenir seulement dans la démonstration de la solution à laquelle on est parvenu. [Examen des dijf éventes méthodes ^ pages 9 et 10.)

Nous allons passer maintenant à l'exposition de plusieurs méthodes particulières , moins vastes que les deux méthodes générales que nous avons dû signaler, et par cela même plus utiles, et dont chacune devra être regardée comme s'appliquant plus spécialement à une certaine classe déterminée de questions , quoique la solution d'un problème pris au hasard puisse exiger l'intervention simultanée de plusieurs d'entre elles.

3. PREMIÈRi: MÉTHODE. — Par substitutions successives. — Dans cette méthode , on fait dépendre la solution de la question proposée d'une question plus simple, celle-ci d'une troisième, etc., jusqu'à ce que l'on arrive enfin à un dernier problème dont la solution soit évidente ou simplement connue.

Cette méthode inl(M-vient dans la solution de prescpie tous les i)rob!èmes