PREMIÈRE PARTIE
de géométrie, en se combinant avec les différentes méthodes que nous avons encore à examiner; et la marche qu'elle suit est tout à fait comparable à celle de l'analyse, dans la résolution des équations par les transformations successives qu'elle leur fait subir. [Examen des différentes méthodes, page 12.)
APPLICATIONS
Problème I. — Deux mobiles se mouvant uniformément et en ligne droite , on propose de construire les positions occupées par ces mobiles à l'instant où la distance qui les sépare est minimum. Solution. — Observons d'abord que si, dès l'origine du mouvement, on
attribue aux deux mobiles A, A' deux nouvelles vitesses composantes égales , paral- 7 * 7 lèles et de même sens, dans la nouvelle
marche simultanée des deux mobiles, la droite mm' qui, à l'époque quelconque ?, mesure leur distance, sera égale (et pa-
^'.i. 1-^/^ * rallèle) à la droite MM' qui eût mesuré leur
y^ distance à la même époque dans leur mou-
vement primitif : ceci résulte immédiatement de la composition des vitesses. Cela posé, communiquons à chacun des deux mobiles A et A', une vitesse égale et contraire à celle de A'; ce dernier restera en repos. Quant au mobile A, si AV représente sa vitesse primitive et si nous menons AV égale, parallèle et de sens contraire à la droite qui représentait la vitesse de A' dans le mouvement primitif, la diagonale AU du parallélogramme construit sur AV, AV représentera la vitesse du mobile A dans son nouveau mouvement. D'ailleurs, d'après la remarque qui a été faite plus haut, la question proposée sera ramenée à la suivante :
Étant donnés un point fixe A' et un point A qui décrit une droite AU, construire la position du point mobile pour laquelle sa distance au point fixe est minimum.
Or on obtient immédiatement la réponse à cette dernière question en abaissant du point A' une perpendiculaire A'.r sur la droite AU; et si l'on veut passer de la construction du second problème à la construction du premier, on mènera xa parallèle à A'V, et rencontrant AV en «; et la droite aa\ égale et parallèle à ^ A', sera la distance minimum des deux mobiles A et A' dans leur mouvement primitif.
Observation. — On trouve dans la Correspondance sur F École Polytechnique, tome II, page 22, une solution analytique de ce problème, par Puisscmt.
Problème II. — Les deux premiers sommets d'un triangle ABC glissant sur deux droites fixes O.r, 0/, trouver la nature du lieu décrit par le t7visième sommet.
.Ço/«f/o/?. — Prenant la figure mobile dans l'une quelconque de ses posi-
lions, construisons la circonférence OAB, joignons son centre D au sommet libre C par une droite qui coupe la circonférence en A', B', et menons les droites indéfinies OA', OB'.
Si l'on remarque que , le triangle ABC étant donné, ainsi queTanglej) O.r , la grandeur de la circonférence OAB et la position de son centre D, par rapport au triangle ABC, sont déterminées , on pourra concevoir que cette circonférence participe au mouvement du triangle , et l'on verra que, dans le mou\ement commun résultant, les différents segments do la droite A'DB'C conservent des grandeurs invariables.
Or, il est facile d'établir que les droites indéfinies OA', OB' sont déterminées et demeurent immobiles dans le mouvement général que nous venons de substituer au premier. En effet , les angles de OA avec OB , de OA' avec OB', et de CD avec AB demeurant constants, les sommes arc BB'-i-arc AB', arc AB' + arc AA', arc AA' + arc BB' demeurent aussi constantes : donc les arcs BB', AB', AA' sont constants, et les directions OA', OB' sont déterminées.
Il résulte de là que le mouvement du point C, considéré comme sommet libre du triangle ABC, est le même que le mouvement du point C considéré comme appartenant à la droite A'B'C dont les points A' et B' glissent sur les deux axes rectangulaires OA', OB'; et le problème est ramené au suivant , dont la solution est connue :
Deux points d'une droite glissant sur deux axes reetanguUdres, trouver In nature du lieu décrit par un troisième point de cette droite. Le lieu primitif est donc une ellipse ayant pour centre le point 0.
