GRANDEURS INDÉTERMINÉES

57. Les problèmes analogues à ceux qui ont été résolus dans le paragraphe précédent, reviennent, en dernière analyse, à déterminer sur une ligne , donnée immédiatement par l'énoncé , ou sur une ligne niwiliairc construite au moyen des données de la question , le point pour lequel une grandeur, dont la \aleur varie avec la position du point sur la courbe, devient maximum ou minimum.

Il existe une autre classe importante de problèmes dans lesquels on cherche parmi toutes les lignes, dont les extrémités sont assujetties à certaines conditions communes, mais qui dans l'intervalle des points extrêmes demeurent entièrement indéterminées , celle pour laquelle une grandeur, dont la valeur dépend de la ligne tout entière , devient nitiximum ou nnni- /«///// (Eu LER, Methodus imeniendi lincas curvas niaximi mininiive proprietate gaudentes , 1744, pages 2 et 3 ) : la grandeur dont il s'agit étant en général une grandeur géométrique , telle qu'une longueur, une aire ou un volume, dont les éléments se forment, d'après une loi donnée, en chacun des points de l'une des courbes que l'on considère. Le premier et le plus célèbre est le problème de la brachistochronc , qui fut proposé par Jean Bernoulli en 1696. Dans les Actes de Leipsick de l'année suivante (mai, page 206), avant d'en exposer la solution, il fait observer cpie les méthodes données jusqu'à ce jour par Fermât, Descartes et les autres , pour la détermination des maxima et minima, sont renfermées dans d'étroites limites , puis qu'elles s'appliquent seulement aux cas où l'on doit chercher, parmi une infinité de grandeurs données, Ui grandeur maximum ou minimum ; et que les difficultés que l'on rencontre deviennent autrement sérieuses, dès que les grandeurs parmi lesquelles se trouve le maximum et le minimum demeurent aussi indéterminées qui' le maximum ou le minimum que l'on cherche.

En publiant les procédés particuliers qui lui avaient réussi dans la solution de ce problème, et qui, selon lui, pouvaient s'appliquer avec le même succès à d'autres sujets semblables, Bernoulli ajoutait qu'il ne croyait pas à la possibilité de trouver une méthode générale applicable à toutes les questions du même genre.

Euler et Lagrange, comme on le sait, ont donné un démenti formel à ce doute d'un grand géomètre; et le calcul des variations demeure l'un des plus beaux monuments de l'analyse, et dans lequel apparaissent avec le plus d'éclat les qualités de certitude et d'universalité qui sont propres à cette dernière.

Le rôle de la géométrie pure , dans l'étude de ces nouveaux problèm^ , paraissait devoir être fort restreint, sinon complètement nul; mais le génie (ie Maclaurin surmonta toutes les difficultés de la matière, et le Traité des Fluxions renferme une méthode générale, fort belle et peu connue, qui conduit par une voie entièrement élémentaire à la solution d'un grand nombre de ces questions, et que nous allons maintenant exposeT".

SECONDE PARTIE. Il3

58. Principe fo.nuamental. Que Cou désigne t-n générdl pctr G Icx grandeurs variables et indéterminées parnn lesquelles se trouve le luinitnunt [ou le maximum) que l'on cherche, et soit V une grandeur constante de même espèce que les grandeurs considérées : si l'on retranche F de chacune des proposées G , on obtient une nouvelle suite de grandeurs G'= G — r qui correspondent aux premières et telles évidemment , qu'à la grandeur nnninmm G, de la première série correspondra la grandeur miidnuim G', de la seconde ^ or on exprimera que G', =: G, — Y est le minimum cherché , en décomposant G, et V en un même nombre d'éléments correspondants A G, et Ar , et en exprimant que chacune des différences élémentaires A G, — AF est minimum. On aura défini par là chacun des éléments de la grandeur mini/num G,, et par suite la grandeur mi/umu/n elle-même.

Remarque I. — Si les grandeurs G se rapportent à des lignes indéterminées parmi lesquelles on cherche celle qui jouit de certaine propriété de minimum ou do maximum, la méthode précédente devra conduire à l'équation différentielle du premier ordre de la ligne cherchée, puisqu'elle doit foLu-nir la définition de chaque élément de cette ligne.

Remarque II. — L'emploi général de la grandeur auxiliaire F étant défini comme précédemment, il faut encore observer que cette grandeur F doit toujours renfermer quelque élément arbitraire, dont on fixe à posteriori la valeur de manière que la grandeur minimum G, = G', +F satisfasse aux conditions qui lui sont imposées par l'énoncé du problème. Au point de vue analytique, cela revient à dire que l'emploi de la méthode actuelle équivaut à l'intégration d'une équation différentielle du second ordre , intégration qui a dû introduire dans l'équation différentielle du premier ordre qui en résulte une constante arbitraire. Cette constante doit donc naître pareillement de la méthode que nous venons de définir; et bien loin que ce qu'il paraît y avoir d'indéterminé dans cette méthode soit une objection contre la certitude des résultats que l'on en peut tirer, cetle indétermination nécessaire, comparée aux résultats que fournit l'analyse, pourrait, s'il en était besoin, servir de confirmation à la méthode.

APPLICATIONS

59. o. Lemme général. — Problème. — Étant donnés un point et une droite , aller du point a la droite jxir un chemin tellenwnt choisi, que le temps employé à le parcourir avec une vitesse v , diminué du. temps emplojé à parcourir sa projection avec la vitesse c, > v, fournisse une différence minimum. [Traité des Fluxions , tome II, n° 572.)

Solution. — 11 s'agit de rendre minimum la différence