ACB

acb.

De là , e les arcs

n projetant l'angle acb en a'W, sur le plan parallèle DABD', par de grand cercle P'w/', V'hh\ et joignant Crt', Ct', on aura

acb = a'Q,b\ et par suite, ACB = a'Cb'. D'où, par la soustraction d'une partie commune.

ACa' = BC/>',

et par suite,

arcA«' = arcB//

On a aussi

arcr/rt' = arc bb',

puisque ces arcs mesurent lun et l'autre la distance sphérique des deux cercles parallèles DAD', dad. Il résulte des égalités (A) et (B) que les triangles rectilignes infiniment petits aa' k, bb'B, équiangles en a' et b', sont rigoureusement égaux ; et que par suite , sur la sphère , les angles nkn\ bBb' sont infiniment peu différents l'un et l'autre. On voit donc, en passant à la limite et supposant que les parallèles DD', fld' se confondent, que le parallèle décrit par le soleil au jour du plus petit crépuscule, coupe sous des angles égcmx le grand cercle de l'horizon HAH', et le parallèle hBh' (uiciuel se terminent les arcs crépusculaires.

Cela posé, soit DABD' le parallèle cherché coupant sous des angles égaux le grand cercle HAH' et son parallèle A B7/; soit OV la verticale du lieu considéré, déterminant sur la sphère le point V, pôle commun de HAH' et de ABA'; menons les arcs de grand cercle PA , VA ; PB , VB; et posons

OH ^ I ; A r= latitude du lieu = i '■" - PV ; îfÀ ::= H ;

D = la déclinaison cherchée du soleil — i*"" — PA.

lo8 DES MÉTHODES EN GÉOMÉTKIE.

Les angles en A el B des triangles sphcriqiies PAV, PBV sont égaux , comme égaux respectivement aux angles HAD, /<BD; on a donc

cosPAV==cosPBV,

d'où, en remplaçant les cosinus par leurs valeurs el simpliliant, sin)v sinA— sinD sinli

ou enfin,

sinD = sin A tang--

PnonLÈME V. — Trouver la définition générale des polygones à périmètre maximum inscrits dans une courbe donnée.

Solution. — Soit abc... Al un polygone à périmètre maximum inscrit dans la courbe donnée. Regardant tous les sommets du polygone comme fixes, sauf le sommet b , il est clair que le chemin ab-\-cb doit être un maximum parmi tous ceux qui relient aux points « et r un point quelconque de l'arc abc. Or, soient «Bc, «B'c deux chemins égaux infiniment voisins et comprenant entre eux le chemin maximum abc : l'égalité aB -\-cB = <7B'h-cB' peut s'écrire

(i) aB' — aB = cB — cB'.

Or, en joignant BB', on trouve facilement les expressions

aB' —aB = BB' cos«B'B 4- s', cB — cB' = BB' cosf BB' + î'-,

c^ et î'- désignant des infiniment petits du second ordre. De ces expressions et de l'égalité fondamentale (i), il résulte que la différence entre BB'cosc/B'B et BB'cosfBB' est du second ordre, et par suite

que les angles aB'B et cBB' sont infiniment peu différents l'un de l'autre. De là, en passant à la limite et supposant que les chemins «Bc, aB' c se confondant avec le chemin maximum abc , on déduit cette conclusion que deiûx: côtés consécutifs cpielcojiques cV un polygone à périmètre maximum inscrit dans une courbe donnée, sont également inclinés sur la tangente a la courbe ciixonscrite , menée par V extrémité commune à ces côtés. Première application. — ^V la courbe donnée est un cercle, on verra que les côtés consécutifs ab , cb étant également inclinés sur la tangente en Z», le point b est le milieu dé l'arc ac, et que par suite deux côtés consécutifs quelconques ab et bc sont égaux. Donc parmi les polygones d'un même nnmbr-e de côtés inscrits dans un cercle, le polygone régulier a un périmètre maximum.

Seconde application. — Si la courbe donnée est une ellipse [E] ayant f,f' pour foyers, on verra, en appliquant la même condition, que deux côtés consécutifs ab et bc . du polygone à périmètre maximum, étant éga-

lomoiit inclinés sur la tangente en b à l'ellipse (E), sont tan.^ents à une même ellipse (E') homofocale à la proposée; pour la même raison, les côtés suivants bc et cd seraient tangents à une autre ellipse homofocale aux précédentes; mais cette nouvelle ellipse est identique à la précédente (E'), puisqu'elle a en commun avec celle-ci les foyers/,/' et la tangente hc, . . . Donc, (ont polygone à périmètre maximum inscrit dans une ellipse donnée (E), se trouve en même temps circonscrit à une seconde ellipse (E'), homofocale à lu proposée.

Renutrcjue I. — D'après un théorème de M. Poncelet , tous les polygones qu'on essayera de former de la même manière que le précédent, se fermeront d'eux-mêmes et auront le même nombre de côtés : et ces polygones, en nombre infini , satisfaisant aux mêmes conditions que le précédent, seront encore à périmètre maximum.

Remarrpie II. — Les polygones ainsi formés sont isopéri/iiètres.

Il suffit, pour le démontrer, de recourir au principe fondamental de la théorie analytique des maximum. Désignons , en effet , parp, p\ p\ . . . , />»„ , les périmètres d'une série de polygones formés d'après les conditions précédentes et infiniment voisins les uns des autres ; les polygones extrêmes p et /j„ étant toutefois séparés par un intervalle fini.

Le périmètre p étant maximum , la variation du périmètre , quand on passe de p à p'^ est , ou rigoureusement nulle , ou seulement infiniment petite du second ordre.

Ainsi

p — p' = o, ou ]) — p' <C e, [x' — .r ) ;

de même

// — //' = o, ou y/ — p" < î.^ ( x" — x' ) ;

/^("-') -;j(") = o, ou />("-')-/>»(") <£j.r(") — ,r("-')).

£,, s.^, . . . , £„ étant des infiniment petits du premier ordre et x, .r', ,r", . . . , .r("> désignant, par exemple, les abscisses des premiers sommets «, «', a", . . . , r/(") des polygones dont les périmètres sont p, p', //,..., /j("'. Soit Bf. le plus grand des nombres s, , s,, , . . . , s„ ; ajoutant membre à membre les égahtés et inégalités précédentes, et remplaçant les e par s^, on aura

p — /j("' = o, ou p — /)("' < z^ ( .r("' — ,r ).

Et l'on en conclut que la différence;:» — yj(") est rigoureusement nulle , puisijue l'on peut établir qu'elle est moindre que toute ligne donnée.

Observation. — La démonstration précédente n'a eu d'autre effet que d'établir, dans un cas particulier, ce principe général , qu'une fonction dont la dérivée est constamment nulle, se réduit à une constante.

PuoBLÈME VL — Trouver la définition génércde des polygones à périmètre minimum, rircoiiscrits à une courbe donnée.

I lO DES .MFTIIODES EN GEO.METRIE.

Snlutinn. — Soit (ihc.kld un polygone circonscrit à périmètre minimum. I\rgmr/ant tous les côtés du polygone comme fixes, sauf le' côté ah , il est clair que ah doit coïncider avec celle des tangentes à la courbe fixe qui ferme le polygone ouvert A' //■... rB', en déterminant un périmètre total minimum.

Or, soient AB et A'B' deux tangentes infiniment voisines , comprenant entre elles la tangente cherchée ah, et fermant le polygone ouvert par des périmètres égaux; et soit I le point d'intersection de AB, A'B', lequel est infiniment voisin des points de contact T et T'.

D'après le problème 8 du chapitre II (page 87). on pourra construire le point I en menant lev bissectrices des angles extérieurs en A, B du polygone ABr.../7A, et abaissant de leur point d'intersection une perpendiculaire sur AB. Si donc, passant à la limite, on suppose que AB et A'B' se confondent avec ah, et si l'on observe qu'en même temps les points T, T', I se confondent avec le point de contacter de ah sur la courbe, on verra que clans tout polygone h périmètre minimum circonscrit à une courbe , la normale à la courhe menée par le point fie contact de charpie côté, et les bissectrices des angles extérieurs du polygone adjacents à ce côté , concourent en un même point.

Première application. — La courbe donnée est un cercle. Soit o' le point de concours des bissectrices des angles extérieurs en a ^ ^, ^ et h, o' t sera normale au cercle et passera par le

centre o ; menons oa , oh qui seront bissectrices des angles intérieurs en a et h. Les triangles rectangles oao' oho' sont égaux, parce qu'ils ont l'hypoténuse commune oo\ et que les perpendiculaires abaissées des sommets de l'angle droit sur l'hypoténuse coupent celle-ci au même point. Il en résulte que les angles tao et tho sont égaux, ainsi que les angles a et b du polygone. Donc, parmi les polygones d'un même nombre de côtés rirconscjits à un cercle , le polygone régulier a un périmètre minimum.

Seconde application. — La courbe donnée est une ellipse.

Lemme I. — Étant données deux ellipses homofocales , si par un point t de Vellipse intérieure on mène une tangente qui coupe Vellipse extérieure aux points a et b, la noi-male en t à l'ellipse intérieure et les tangentes en a et b à P ellipse extérieure , concourront en un même point.

Lemme II. — Un point ne saurait avoir même polaire par rapport à deux ellipses homofocales , à moins que ces ellipses ne .<te confondent.

Ces lemmes étant supposés établis, soient abc . .//un polygone à péri, mètre minimum circonscrit à une ellipse ( E' ) ayant /,/' pour foyers , t le point de contact du côté ah sur l'ellipse, et o le point de concours des bissectrices des angles extérieurs du polygone en a et h : d'après

SErOXDE PARTIE.

l(< llicorèmi> gôiiôial qui précède, la droite ot sera normale à l'ellipse en t. Or, de ce que les côtés la^ ah ^ hc sont / ,,-'A tani^ents à l'ellipse (E'), et de la définition des

droites (w et ho. il résulte que l'on peut construire deux ellipses auxiliaires que nous désignerons par ( a) et (fi) , passant, l'une par le point a, l'autre par le point /;, ayant pour tangentes respectives en ces points les droites ao et ho, et homol'ocales à la proposée (E'). Mais ces deux ellipses f^ ) coïncident on une seule. Supposons, en effet, qu'il en soit autrement , désignons par au' et hh' les cordes distinctes que la droite ath détermine dans ces ellipses , et joignons or/, oh'. D'après le lemme I, on' et oh' seraient respectivement tangentes aux ellipses (a) et (fi), et par suite le point o aurait môme polaire dh' ha' par rapport aux deux ellipses homofocales [y.) et ([3), ce qui est contraire au lemme IL Donc les deux ellipses [y.) et (fi) coïncident, et par suite deux sommets consécutifs quelconques du polygone à périmètre minimum appartiennent à UTie môme ellipse homofocale à la proposée. Donc tout polygone à périmètre minimum , circonscrit a une ellipse donnée (E'), se trouve en même temps inscrit à une seconde ellipse ( E ) , liomojocalc à la proposée.

Corollaire. — On verrait, comme dans le problème précédent, que l'on peut former une infinité de polygones à périmètre minimum, circonscrits à Tellipse (E') et inscrits à l'ellipse (E), et que tous ces polygones sont isopérimètres.

Scolie. — Si l'on observe que chaque polygone à périmètre minimum circonscrit à l'ellipse (E') est inscrit à l'ellipse (E) et satisfait, en outre, aux conditions imposées aux polygones à périmètre maximum inscrit dans cette ellipse , on pourra renfermer tous les résultats précédents dans cet énoncé : Si Von a sur le même plan deux ellipses honiofocales (E) et (E') telles, rpC un premier polygone de n côtés puisse être inscrit dans l'une et circonscrit h l \a(tre :

i". On pourra former d'après les mêmes conditions une infinité de polygones ayant le même nomhre de côtés et le mé'me périmètre ;

1°. Chacun de ces polygones sera de périmètre maximum parmi tous les polygones d'un ménw nomhre de côtés (pie l'on peut inscrire dans l'ellipse extérieure , et de périmètre minimum parmi tous ceux que l'on peut circonscrire à l'ellipse intérieure. ^Observation. — Ces beaux théorèmes ont été découverts par M. Chasles: leur démonstration analytique, par l'emploi des coordonnées elliptiques, a fait en i852 le sujet de quelques leçons de M. Liouville au Collège de France. [Foir aussi le célèbre Mémoire de M. Steiner : /ou /nal rie Mathématiques, i84i, page 169.)

i; 11. — De la grandevb maximum ou minimum parmi des