MM' - //N'= MM"- //N'=: M« + N'M

et comme M /i est constante , on voit que le minimum cherché a lieu quand

N'M" est nulle, c'est-à-dire quand la droite MM' coïncide avec la droite MX.

Ainsi /r sinus de Canglc (l'incidence de la droite cJiercIiée sur la droite

dominée, est égal au T'appojt — des vitesses données.

Remarque. — La solution analytique du même problème dépendrait seulement de la théorie élémentaire des maxima pour les fonctions du second degré.

I. Problème de Fermât. — Étant donnés deux points k et ^ situés dans deux milieux différents que sépa?v la droite xj ; et c , v' désignant les vitesses de propagation de la luniière dans les deux milieux, on demainle le chemin AIB que doit suivre une molécule lumineuse , pour (dler du premier point (Hi second dans un temps minimum.

Solution. — Abaissons A<7, B^. perpendiculaires sur .ry; il s'agit de trouver un point 1 sur .rj, tel que

, , Al BI . .

1 ) 1 r = minimum.

D'ailleurs le chemin à temps minimum ne doit être cherché évidemment que parmi ceux qui rencontrent la droite .r}-enlie le? points a olb , et qui ont par conséquent même projection ah sur xy. Si donc on désigne par V y une \itesse supérieure à c et à e', le temps employé à parcourir ah avec la vitesse V sera une quantité constante ; et nous aurons satisfait à la condition (i), si nous satisfaisons à celle-ci

AI BI ah . .

1 — r — Tr~ minimum ,

SKCO\l)E PARTIE. 1 I ,')

OU, en décomposant /^/Z' eu «1-4-/'!, si nous satisfaisons à celte dornièro

/AI al\ /BI /;I\

minimum.

Enfin, cette dernière relation sera satisfaite, si 1 on peut satisfaire simultanément à chacune de celles-ci

Al «l . .

( (7 ) — — -TT- = minimum ,

(h] —- = —- = minimum.

Or, d'après le lemme précédent, si l'on désigne par / et /■ les angles d'incidence et de réfraction AIN, BIN', chacune des conditions [n] et {//) sera remplie, si l'on a

sin I ~ -Tri sin /• = - , V V

d'où, en divisant membre à membre,

sin/ ('

Sin/- ('

Ainsi h' c/irini/i <iiœ doit sidi'/r une molécule l/iii/i/iei/se jjdki- aller (Viiii l^remier à un second milieu dans un temps minimum, est tel, ([ue le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction , dans le passage du premier au second milieu, soit égal au rapport dès vitesses de proj)agation fie la lumière dans le premier et dans le second milieu.

Scolie. — La solution dii-ecte de ce problème dépendrait évidemment de la méthode pour la recherche des maxima et minima absolus, exposée dans le chapitre précédent. L'emploi de cette méthode conduit d'ailleurs à une généralisation du théorîme précédent qui peut être utile pour des applications ultérieures. Il suffit , pour y parvenir, de remplacer le plan de la figure précédente par une surface quelconque : on verra alors que le chemin AIB, défini i)ar la même condition de minimum, est formé par deux lignes géodésiques AI et IB de la surface , et que les angles i*"'' — / , i^'' — r, sous lesquels ces lignes géodésiques coupent la courbe de séparation .rj-,

sont encore liés par la relation -: — = -.• On aura d'ailleurs à s'appuver

sur ce principe , que In courbe cpd intercepte des arcs équivalents sur les lignes géodésiques d'une surface , issues du même point , coiipe orthogonalement toutes ces lignes géodésiques.

2. Problème. — Trouver la ligne sur lacpielle doit se mouvoir un jmint matériel soumis à Faction de la pesanteur, pour aller d'un point donné 0 à une verticale donnée vv', dans un temps tninimum. ( Traité des Flu rions, tome I! , n" 574.)

Solution. — Soient OMM'H la brachistoclirone cherchée et II le jinint inconnu où elle coupe la verticale donnée W'. Menons les horizontales OV

cl llir (les points (le (lép;iit et d'iirrivéo, ainsi que la vorticalc OH' du point (le départ.

Il ost facile de reconnaître , à priori, que la courbe cherchée ne saurait avoir aucun de ses points à gauche de la verticale OU' ou au-dessous de l'horizontale HH', et que, par suite, on ne doit chercher la brachistorhione que parmi les courbes en nombre infini qui joi?;nent le point 0 au point (indéterminé) 11, et qui sont en outre comprises dans le rectani^le OVilir : or toutes ces courbes ont même iirojection IlU' sur l'horizon, et la vitesse acquise en 11 , jtar la chute sur l'une d'elles , est la même pour toutes; désignons par c, cette vitesse qui demeure indéterminée comme le point H lui-même.

Conformément à la méthode générale , nous dirons : Si le temps par ^, y OMM'II , parcoitT-ii avec une vitesse variable v , est iiiiriinuiin , ce même temps diminué du temps par HH', parcouru avec lu vitesse constante c, , sera encore nnninium ; et si nous décomposons la courbe et la droite en un même nombre d'éléments correspondants MM', wM', la différence des temps que l'on vient d'énoncer sera minimum , si l'on rend minimum cette différence élémentaire :

Temps par WsV parcouru avec la vitesse (', moins temps par niW parcouru avec la vitesse c,. Or, d'après le lemme, pour que cette dernière différence soit minimum , il suffit , en regardant l'élément MM' de la courbe comme rectiligne, que l'on ait

sin/;/MM' = -?

"> ou

dy V

V désignant la vitesse acquise par le mobile à son arrivée en M , et les ordoimées r de la courbe étant parallèles à l'horizontale OV.

Corollaire 1. —La formule (i) fournit, comme on le voit, l'équation différenlielle du premier ordre de la brachistochrone pour le cas où la pesanteur agit sur le mobile par des droites parallèles, l'intensité de la pesanteur étant ou constante , ou variable suivant une loi quelconque : cette formule conduit , en outre , à cette conséquence importante , que la braclnstochrone est tangente à la verticale du point de départ, et nornude à la verticale W à Icujuelle elle se termine ; car, si l'on fait alternativement (' = o et c = «', dans la formule, elle donne

(h dy

-7- — o , et ~- — \.

ds ds

Corollaire 11. IXins le cas d'une {)esantcur constante, on a et la brachistochrone est une cvcloïde.

SECOXDE PARTIE.

Rcinan/tie. — La fonnulo (i) a été donnée pour la promière fois par .lean Bornoiilli {.Ictcs de Ij-ijjsick , i()9(), mai, pa.L;c 208) : ce géomètre l'avait obtenue en généralisant le problème de Fermât, et en assimilant la brachistochrone à la trajectoire d'une molécule lumineuse traversant, dans un temps minimum , une suite de milieux de densités différentes , d'épaisseurs infmiment petites, séparés les uns des autres par des surfaces iiorizontales.

3. l'noBLÈME. — Trouver la ligne que doit décrire un point matériel soumis à l'action d'une force émanant d'un centre fixe Q, , pour aller, dans un temps minimum, d'un point donné à une droite donnée, passant pinte centre attirant. [Traité des Fluxions, tome II, n" 578. )

Solution. — Soit AMB la brachistochrone cherchée , et B le point inconnu où elle atteint la droite donnée QRb. Du point C, comme centre, décrivons les arcs du cercle A^ et B<ï interceptés dans l'angle donné ACB. 1! est facile de démontrer, à priori , que la ligne cherchée est tout entière comprise dans le trapèze mixtiligne kb^a. Nous la chercherons donc parmi les lignes qui satisfont à cette condition et qui joignent lo point A au point indéterminé B. Or toutes ces lignes, projetées centralement suivant le point C sur la circonférence B«, ont même projection, à savoir l'arc B<7; et la vitesse acquise en B par la chute sur l'une d'elles est la même pour toutes; soit c, cette vitesse. Dès lors, si le temps par AMB |)arcouru avec la vitesse variable c, est minimum , on aura aussi

S- (AMB, c) — 5.(arcrtB, (',) = minimum ;

et si l'on décompose la courbe et l'arc en un même nombre d'éléments correspondants MM', NN', la différence précédente sera minimum , si l'on rend minimum chacune des différences élémentaires , telles que

[a] S.(MM', (')-S.(NN', .',).

Or, désignons par r, /•', r, les distances au centre attirant C des points M, M', B, et décrivons du centre C le petit arc Wm semblable à l'arc NN' ; on a

et , par suite,