G. (MM', (') — G. (/«M
Or, d'après le lemme, pour que cette dernière différence soit minimum , il suffit, en regardant les éléments MM' et mW comme rectilignes, que l'on ait
sinwMM' = •' : i>| - ;
donc , en appelant MT la tangente en M , remplaçant /•' par /•, sinCMM'
c/0 par sin CMT = r-r i il vient
(I) sin CMT = ;-^ =-•-',
as (', r
pour l'équation différentielle de la courbe cherchée.
Corollaire I. — Ces formules conduisent encore à cette conséquence , que la hrachistochrone est tangente au rayon CA , qui passe par l'origine, et normale au rayon CB , auquel elle se termine.
CoROLL.URE II. — La formule (I), que l'on écrirait
/•sinCMT = ^'..',
démontre ce théorème dû à Euler, que la vitesse en cfuujue point est j)roporlionnelle à la distance du rentre d'attraction à la tangente en ce point.
Corollaire III. — Supposons que l'attraction exercée par le centre C soit proportionnelle à la distance. Le principe des forces vives donne , dans ce cas ,
en désignant par /„ la distance initiale CA, pour laquelle «' = o, et l'équation (I) devient alors
(i) sinCMT = /-4^ = ^l-^=r^.^,
ds y/rl-r] r
qui représente , comme on le sait , une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence ayant pour diamètre /-^ — /•, = ka , qui roulerait intérieurement sur la circonférence A /;. On pourrait d'ailleurs établir ce dernier fait directement, et sans beaucoup de peine, en s'appuyant sur la construction de la tangente à lépicycloïde et sur le lemme que voici : Que l'on prenne un point quelconque C sur le prolongement de l'hypoténuse hM d'un /riangle rectangle èMB et que l'on joigne CM, on aura
sinCMB = *^''"
en })osant CM = r, C A — /•„ et ( '.B /•, .
4. Problème.— Trom'crUi courbe plane ixissdiit par deux points donnés A et B , et engendrant une aire niininuun par sa rotation autour dhin axe ()j; situé dans son pla/i.
Solution. Soit ACMB la courbe cherchée pour laquelle l'intégrale/ jrA', étendue à tous les points de la courbe compris entre A et B, est minimum. Pour toutes les courbes joignant le point A au point B, l'intégrale /<^/.r, et par suite celle-ci, À/r/.r prise entre les mêmes limites est une grandeur constante, l désignant une constante arbitraire. Il suffira donc , conformément à la méthode générale , de rouver la courbe pour laquelle / (j>ï/a — /r/.i) est un minimum , et cette somme sera minimum
i> p' b <ï chaoïui de ses éléments yds
Id.r
dx
est minimum.
Or, si l'on regarde - et -r comme représentant des vitesses , et si l'on
regarde comme donné l'accroissement dv de l'ordonnée dans le passage (l'un |)oint M de la courbe au point infiniment voisin M', le minimum ;uira lieu , d'après le lemme, si l'on a
smMM'/// = — = -= —
ds I >
On a donc III)
dx
pour l'équation différentielle de la courbe cherchée qui est , par censé quent , une chaînette dont l'axe est perpendiculaire à la droite 0.r.
Seolie. — Dans Ic problème précédent, l'usage que l'on a fait du lemme de la page ii3 , exigeait que l'on put regarder comme donné l'accroissement dv de l'ordonnée, dans le passage du point M au point infiniment voisin M' de la courbe cherchée. Or, on peut faire voir que cela est permis, au mo}en du raisonnement suivant : Soit ACMB la courbe cherchée et C son point le plus bas. D'après la définition du point C , et quoique ce point demeure inconnu . on peut dire que l'on ne doit chercher la courbe demandée (jue parmi celles qui joignent A à B, en passant par le point C et ayant en ce point leur tangente parallèle à Ox. Or, pour foutes ces courbes les variations totales de l'ordonnée ^)- sont les mêmes de A en C et de C en B, et l'on peut, par conséquent, partager les différences ¥(„, — Y^^^ , Y^^^ — Y(^^ , communes à toutes ces •ourbes, en un certain nombre de parties très-petites , égales ou inégales.
1 20 DES MKTHODES EX GEOIVIETUIE.
qui seront les mémos pour toutes ces courbes; ce qui revient à dire que l'on peut regarder cemme donné l'accroissement dy de Tordonnée de la courbe cherchée. La même remarque s'applique aux problèmes des n"' x et 3 et à ceux qu'il nous reste à étudier dans le chapitre suivant.
