filtre solution du même ptoblèmc
a. Que la courbe mobile roule sans glisser d'abord sur la convexité, puis sur la concavité d'une courbe fixe, de manière que dans ces deux mouvements les mêmes points de la courbe mobile soient successivement en contact avec les mêmes points de la courbe fixe : un point m invariablement lié à la courbe mobile décrira deux arcs de roulettes, l'une extérieure, l'antre intérieure, dont nous désignerons les longueurs par }î et 7.
SECONDE PARTIE. l^'J
en appelant s la longueur de l'arc de la courbe mobile qui s'est enroulé sur un arc égal de la courbe fixe. On aura donc , en conservant les mêmes notations que précédemment ,
et , par suite ,
l'arc (7 étant regardé comme positif ou négatif, suivant que l'on aura
4-, > i ou 4? < 5) et, par suite, I + «i étant, dans les mêmes circon- K n n K
stances, une somme ou une différence. Il résulte de là que la somme algébrique des deitœ arcs de roulette extérieure ou intérieure est imlépendante de la nature de la courbe fixe.
Supposons que l'on ait R = constante et R' = constante , c'est-à-dire que les roulettes deviennent des épicycloïdes allongées ou raccourcies ; on aura alors
et , par suite ,
Les formules ( A ) et ( R ) conduisent à cette conséquence importante que : Si Von sait rectifier un arc cjuelconc^ue de Vépicycloïde, allongée ou raccourcie, produite par le mouvement dhin point m invariablement lié à une circonférence ( C ) (jui roule, intérieurement par exemple, sur une circonférence (C), i° on connaîtra , par l'application de la formule (B), farc cTépicycloïde extérieure engendré par le même point m dans le roulement extérieur de la circonférence (C) sur la même circonférence (C); 2° si
Von forme la somme | si ^5-; > p ) ou la différence ( si ^77 < h ) (^^'^
deux arcs ainsi obtenus, on aura la valeur générale de la somnw algébrique des deux arcs de roulette intérieure et extérieure engendrés par le mouvement du point m pendant que la circonférence (C) roule intérieurement et extérieurement sur une autre circonférence quelconque ( r ) de rayon p; 2° la somme 1. -\- <t- étant ainsi déterminée, la formule (B) dans laquelle on remplacera R par p , permettra de détcrnnner respectivement 1 et a , c'est-à-dire les arcs de roulette extérieure et intérieure engendrés par le mouvement du point m dans le roulement de la circonférence (C) sur la circonférence (F).
b. Application de ces principes h la rectification des épicycloïdes simples.
l38 DES MÉTHODES EN GEOMETRIE.
On connaît ce théorème , dû à Cardan , qu'un point m d'inio circonfém. rence [c') roulant intérieurement sur une cir-
conférence (r) de rayon double o — 2R', engendre un diamètre du cercle (r). Désignons par 2, et a, les arcs de roulette extérieure et intérieure décrites par le point /«, pendant que l'arc om = s de la circonférence [r') s'enroule sur l'arc égal wo de la circonférence (!') : la figure donne immédiatement
2R' ( i-cos-j
on aura donc, d'après la formule (B),
ou
I, = 6R' ( I — cos -
puisque dans le cas actuel p = 2R'. Et si l'on remarque que ^ étant ici
plus grand que -i on doit faire la somme arithmétique de 2, et t, pour avoir la valeur générale de la somme algébrique 2 + 7, on aura
(A') 2 + cr=8R'(i-cos'^y
Enfin, la combinaison des relations (A') et (B) donne pour le cas général,
4R' ( I — cos
qui coïncident avec les formules données par Newton [Livre des Principes, propositions 48 et 49)-
c. Rectification des épicvclnïdes allongées ou raccourcies.
On déduit immédiatement du théorème de Cardan que l'épicycloïde allongée ou raccourcie, décrite par un point /", invariablement lié à une circonférence (r') qui roule intérieurement sur une circonférence (!') de rayon double, peut être engendrée par le mouvement dun point /», d'une droite nip dont les extrémités m, p décrivent deux droites rectangulaires Tw et Va ; cette épicycloïde intérieure est donc une ellipse , et l'arc a^= m^ni, de cette épicycloïde n'est autre chose qu'un arc d'ellipse que nous désignerons par s.
On a donc successivement , en suivant la même marche et adoptant la
