A,0 AO

a^O "aÔ" '

et les vitesses totales V^, ''.^i acquises à la même époque, seront dans le même rapport,

(II) Yi = M = /,

Ainsi , les arcs résidus à la fin du second instant sont encore dans le même rapport (jue les arcs primitifs ; et ainsi de suite.

SECONDK PARTIE. l3r

Le rapport des arcs résidus à une é|)Otpie (luelconque du mouvement simultané des deux mobiles demeure donc constamment égal au rapport des arcs primitifs. Il en résulte que ces arcs s'évanouissent en môme temps , et que les deux mobiles parviennent au même instant à l'extrémité de l'arc A«0, dont le tauchrononisme se trouve par là établi.

Scolie. — Les courbes tautochrones , pour le cas où le mobile qui les pnrcoiirt n'ëpioiive aucune résistance , ont encore In même fjualité (luaiid la résistance é]>rouvée par le mobile est proportionnelle à sa vitesse.

Une démonstration entièrement semblable à la précédente suffit pour établir ce théorème, dans le cas de tautochronisme que nous venons d'examiner.

Corollaire I. — Tautochrone dans le cas d'un mobile soumis à l'action de la pesanteur En rapportant la courbe cherchée Ar/0 à l'horizontale O.r et à la verticale Or du point 0, on trouve immédiatement pour son équation différentielle

Si l'intensité de la pesanteur est constante , ijest un nombre invariable, et la courbe cherchée est une cycloïde.

Si l'intensité de la pesanteur est variable avec la distance du mobile à un plan horizontal quelconque , g est une fonction de r , et l'équation ( I ) conduit à l'équation de la courbe exprimée par une relation entre j et v.

Dans les deux cas, et en supposant pour le second que jO-ne devienne pas infini pour ^ = o, on voit qu'à l'origine des arcs parcourus en temps égaux la tautochrone est normale à la direction de la pesanteur.

Corollaire II. — Tautoc/irone dans le cas d'un mobile attiré par un centre fixe. Le centre attirant C étant pris pour origine des coordonnées polaires, et le point 0 étant pris pour origine des arcs .v, on a, pour l'équation différentielle delà courbe cherchée,

(II) /■(/•) cos a ou f\r)%^hs\

y. étant l'angle de la tangente en un point de la courbe avec le rayon vecteur de ce point, et/(/-) désignant la force, émanant du centre C, qui sollicite le mobile arrivé en ce point.

Examinons , en particulier, le cas où la force est proportionnelle ci la distcmce. On a alors /(/•) = /•; et en désignant par r^ le rayon vecteur qui aboutit à l'origine des arcs, on trouve d'abord

tirant de là la valeur de .v pour la porter dans la relation (II), élevant au carré, l'équation résultante, et remplaçant r/.«^ par r/r' -+- rV/Q', il vient en résolvant par rapport à c/0,

l32 DES 31ËTHODES EN GÉOMKTIUE.

Les variétés les plus remarquables des courbes représentées par cette équation sont fournies par les hypothèses suivantes :

■j < i; la courbe est alors une épicycloïde;

-T = I ; la courbe se réduit à une droite située à une distance /• du

fi

centre attirant;

7 > I et /•„ = G ; la courbe est une spirale logarithmique ayant le point

C pour origine.

Remarque. — L'équation primitive /(r) cosa = ks ^ dans laquelle on suppose A- = o, montre que au point origine des arcs parcourus en temps égaux , la tautochrone est normale au rayon (pu aboutit au centre attirant ^ pourvu que la valeur correspondante de/(/-) ne soit pas nulle. ( Foir sur le même sujet un article de M. Puiseux : Journal de Mathématiques, 1844, page 409- )

Observation. — Le tautochronisme de la çycloïde a été , comme on le sait, découvert parHuyghens (Horolog. oscillât., prop. aS, page 57). Newton généralisa ensuite le théorème d'Huyghens, et c'est la démonstration même qu'il a donnée de la propriété semblable de l'épicycloïde ( Licre des Principes, prop. 5i), que nous avons reproduite, en établissant le théorème que nous avons pris pour point de départ dans la recherche des courbes tautochrones. L'ouvrage d'Huyghens, déjà cité , contient sur le même sujet une dernière proposition remarquable (prop. 26, page 58), dans laquelle il donne l'expression du rapport des temps employés , par le même mobile dans le même mouvement, à parcourir une partie AA' de l'arc AO de la çycloïde et la partie restante A'O. Ce théorème particularisé conduit à cette conséquence curieuse , que l'on retrouve également par l'analyse, que si dans le mouvement d'un point sur la çycloïde on mène Vhorizontale du point de départ, celle du point le plus bas ou sommet de la çycloïde , et l'horizontale équidistante , le temps employé par le mobile dans son passage de la pj-emière a la troisième sera égal à celui qu'il emploiera à passer de la ti'oisième à la seconde.

Il ne serait peut-être ni sans intérêt, ni sans difficulté, de rechercher quelles sont toutes les courbes que l'on pourrait, pour abréger, appeler courbes mcsochrones, qui jouissent de la même propriété.

4. Problème de Viviani. — En 1692, Viviani proposa aux analystes de son temps sous ce titre : JEnigma geometricum de miro opijicio testitudinis (piadrcdnlis hemisphericœ , le problème suivant :

Percer une voûte hémisphérique de quatre fenêtres égales , sous cette condition que le reste de la voûte soit exactement carrablc.

Nous allons rapporter le principe de la solution de Leibnitz qui résolut le [troblème le jour même où il lui fut communiqué ( Jeta Lipsiœ, juin 1792, page 274). Quoique cette solution dépende de l'analyse, elle n'est pas cependant étrangère à notre sujet , et nous fournira un nouvel exemple

de l'importance que présente, dans les problèmes de ce genre, le choix des

éléments de la grandeur que l'on veut évaluer.

Appelons éqiKUcur le grand cercle Y^a' aVJ qui limite l'hémisphère

donné, et soit P le pôU-, Soit AA' une courbe quelconque tracée sur la

surface de l'hémispiière. Nous regarderons chaque point A de cette courbe

l'i ■ 1 .-. ! - arc Art ^ 1 -, , T arcErt

comme dehni par sa latitude A = — - — -, et sa longitude L = — ^ — i

R désignant le rayon de la sphère.

Cela posé, supposons qu'il s'agisse d'évaluer l'aire sphériquo comprise entre un arc de la courbe donnée , les méridiens qui passent par les extrémités de cet arc, et l'arc que ces méridiens interceptent sur l'éfpiateur. A cet effet, prenons pour élément de la surface que nous avons à évaluer l'aire élémentaire kk' a' n^ comprise entre deux méridiens infiniment voisins, et les arcs qu'ils interceptent sur la courbe donnée et sur l'équateur. D'après la mesure de la zone sphérique , et en négligeant un infiniment petit du second ordre, l'aire élémentaire ainsi définie a pour mesure

R^sin).r/L,

>. désignant la latitude du point A de la courbe AA', et (IL désignant la différence des longitudes des points A , A' de cette courbe ; par suite l'aire finie considérée aura pour expression

sin A r/L,

L„, L| désignant les longitudes des extrémités de l'arc AB, et > étant re-

„ gardée comme une fonction do L. L'aire sphé-

y-'^'^lK^^"^-^ rique considérée sera donc exactement car-

/ / \ V^ \ rable , si l'on établit entre L et >. , longitude et

/ / |\\'^ \ latitude d'un même point A de la courbe cher-

[ ' oi !fâ£^ j chée, une relation telle, que l'intégrale

V i ''' '^-^iW -'i^ J' sin )v r/ L ,

^ rt ^'

^ prise entre certaines limites, ait une valeur

algébrique ; et c'est ce que l'on peut réaliser d'une infinité de manières. Prenons pour exemple la première et la plus simple des cinq constructions données par .lean Bernoulli pour résoudre ce i)roblème [Acta LijKsiœ, août i6g2, page 870); c'est-à-dire prenons, pour définition de la courbe AA', la relation

cette courbe passe alors par le pôle P, par le point E de l'équateur qui est l'origine des longitudes, et ne s'étend que sur le quart de l'hémisphère

considéré; en outre, l'intégrale J sin).r/'A prise entre les limitas o et -

étant égale à 1, on voit qu'après avoir enlevé la partie du quait de l'hé-

l34 DES MÉTHODES EX (iÉOMÉTRIE.

misphère limitée inférieurement par la courbe PAE, la portion restante est exactement carrable et a pour valeur le carré du rayon.

Remarque I. — Cette première construction de Bernoulli revient identiquement, au fond , à celle qui fut publiée plus tard par Viviani lui-même. Car si Ton abaisse d'un point (}uelconque A de la courbe PAE que l'on vient de définir, la perpendiculaire A r/ sur le plan qui sert de base à l'hémisphère , que l'on mène le rayon O^rt , on a

A 7 = R sin ). = R sin L,

et, par suite .

0 «y = R cos L — R cos EO r< = R cos EO ry ;

donc, si Ion joint E7, l'angle O7E est droit, et le point <y appartient à la demi-circonférence décrite sur le rayon OE comme diamètre. Il résulte immédiatement de là cette construction ;

Que l'on prenne un diamètre du grand cercle qui sert de base à PliémispJière, et cjue sur chacune de ses moitiés , considérée comme diamètre y et dans le plan de la base , on décrive une circonférence : les cylindres droits avant pour bases ces deux circonférences détacheront de la voûte hémisphéri([ue quatre fejiêtres simples ou de wr fenêtres doubles , et Faire de la partie restante sera écpiivalente au carré construit sur le diamètre de la sphère { Viviani ).

Remarque II. — Vers la fin de son Traité de calcul intégral, tome II , page 546, Bossut fait cette remarque curieuse, que la construction de Viviani fournit aussi une solution de cette autre question proposée parEuler: Construire sur la base (F un hémisphère une courbe telle , que le volume du cylindre élevé perpendiculcdi-cment sur son aire et terminé à la surface liémisphérique , ait une expression algébrique.

Il est facile de démontrer, en effet, que si l'on prend pour base du cylindre le triangle formé par le rayon OQ perpendiculaire à OE, le quadrant EQ et la demi-circonférence O^^'E (qui sert de base au cylindre de Viviani), le volume correspondant a pour valeur les deux neuvièmes du cube du rayon.

Prenons, en effet, ipour élément de la grandeur que nous voulons évaluer le volume AX'q'qaa'. Cet élément est la différence entre la pyramide sphérique OXX'a'a et la pyramide OA A'^Vy, dont les volumes ont respectivement pour expression

On a donc

-R^ sinL<-/L et -R' sin L cos-L<'/L.

r/V= ^R' sin'Lr/L

pour expression du volume élémentaire, et

V = ^R^ r^ sin'Lr/L = i pour expression du volume total.

5. Rectification des épycloïdcs allongées ou raccourcies (V après Pascal.

On a vu, dans le chapitre premier (page 5G), qu'un arc dn de roulette, produit par le roulement de l'arc ds de la courbe mobile sur un arc égal de la courbe fixe, a pour expression

dn = dr

^ est alors un facteur constant, et l'évaluation d'un arc quelconque

R , R' désignant les rayons de courbure en leur point de contact actuel des deux lignes fixe et mobile, et /• désignant la distance à ce point tle contact du point qui décrit la roulette. Plaçons-nous dans le cas particulier où les lignes fixe et mobile sont des circonférences de cercle :

R ~ R' d'épicycloïde allongée ou raccourcie dépend du problème suivant :

Trouver la somme des produits des arcs élémentaires cpd composent un arc fini du cercle mobile, multipliés respectivement par les distances de Pune de leurs extrémités à un point fixe ( le point décrivant ).

Voici, d'après Pascal [OEuvres... 1779, tome V, pages 402 et suiv. ) , la solution de ce problème , solution qui fournit une nouvelle application de la méthode />rtr les solides auxiliaij-es (première partie, page 17).

Soient OACB le diamètre de la circonférence donnée qui passe par le point donné O , C étant le centre de cette circonférence; mn un arc infiniment petit et Om la distance de l'une de ses extrémités au point 0 : joignons Bw et désignons par tp l'angle OB/h. Posons

OC = rf, CA = R, OB = r/ + R.

Le triangle OBw donne

ou

(dm = (r/ + R )^ 4- 4 R' cos= (p - 4 R (^^ + R ) cos' '^

OVn ^ (r/ + R)'- 4^^RC0S^?-

Cela posé , prenons sur CO le point H tel , que l'on ait

[a] Ch'=4^/R,

et par le point H ainsi obtenu, élevons sur le plan du cercle une perpendiculaire indéfinie HC sur laquelle nous prendrons le point C tel, que l'on ait

CC' = f/ + R;

et joignons CC. Enfin , menant par le point C , CP parallèle à B/« , abaissons du point C la perpendiculaire C P sur CP ; il suffira pour cela d'abaisser C'H perpendiculaire sur le plan de la base (ce qui est déjà fait).

de mener IIP perpendiculaire sur CP et de joindre C'P. Le triangle C'PC, rectangle en P, donnera alors, en observant que CP = CH cos 'f ,

Ct' = CC''— CP'= CC''- Ch'cos' V , ou, d'après les relations {a) et [b),

(I) CT = {^/-|-Rf-4^/Rcos'v;

on a donc

D'ailleurs, si l'on mène les rayons CM, CN constamment perpendiculaires aux cordes Bw, B/?, on aura

( B ) arc nm = 2 arc iVIN.

Or, si l'on considère le cylindre oblique ayant pour base le cercle AniB, et dont les génératrices sont égales et parallèles à .CC, on voit , en menant la génératrice MM', que C'P mesure la distance du point M' à la tangente MT de la base du cylindre; que, par suite, C'P. arc MN est l'élément de la surface latérale du cylindre. Il en résulte, à cause des relations (A) et(B), que la somme des produits

/ arc nt/i. Oni,

prise entre certaines limites, représente le double de l'aire d'une portion de surface cylindrique et peut, par conséquent, s'exprimer par le double de la génératrice CC multipliée par un arc de l'ellipse; section droite du cylindre : on trouve d'ailleurs, pour les demi-axes A et B de cette ellipse,

le petit axe devenant nul et l'ellipse se réduisant à une droite quand rf = R , c'est-à-dire quand le point décrivant 0 est situé sur la circonférence mobile.

Enfin , si l'on revient au problème primitif, on conclura facilement de ce qui précède qu'un arc quelconque d'épicycloïde, allongée ou raccourcie, est équivalent en longueur à un certain arc d'une ellipse semblable à la précédente et dont les axes sont par suite proportionnels aux distances maximum et minimum du point décrivant à la circonférence mobile.