CHAPITRE XVII

DU MOUVEMENT RELATIF D*t!N SYSTÈME.

254. Si tous les points matériels qui composent le système élaîent enlièreaient libres et indépendants les uns des autres, on rentrerait dans la théorie du mouvement relatif d'un point libre; et il suflirait d'introduire en chaque point les deux forces fictives, définies dans le n" 214, pour que le mouvement relatif du système fût ramené à un raouve-

255. Supposons maiutenant que certains points du système soient assujettis seulement à rester sur des surfaces ou des courbes données, fixes oikniobiles, constantes ou variables de forme. Il en résultera pour ces points des forces inconnues normales à ces surfaces ou à ces courbes. Si l'oaen connaissait les valeurs, en les joignant aux forces données, les points pourraient être considérés comme libres, et l'on rentrerait dans le cas précédent. Il suffirait donc d'introduire en chaque point les deux forces fictives dépendantes du mouvement des axes, et l'on serait encore ramené au mouvement absolu- Mais, bien que ces forces normales soient inconnues, on peut toujours les introduire comme si elles étaient connues. Le nombre des quantilés à déterminer sera augmenté; mais le nombre des équations le sera également. En effei, les coordonnées d'un point assujetti à rester sur une surface doivent constamment satisfaire à l'équation de cette surface. Si le point est assujetti à rester sur deux surfaces, ou en d'autres termes sur une courbe donnée, il

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34S DU MOUVEMENT PRODUIT V/lVl I.ES FORCES.

s'introduit deux forces inconnues, normales à ces deux surfaces ; mais, en même temps, on a deux équations etilre ses coordouni'es t de sorte que le nombre des équations augmentera toujours autant qu<' celui des inconnues, et le problème sera entièrement délerminé. Les équations de ces surfaces ou de ces courbes pourront être données en fonction du temps et des coordonnées absolues ou relatives, et on les exprimera dans celui que l'on voudra de ces deux systèmes, au moyen des formules de la transformation des coordonnées.

256. Si deux points du système étaient assujettis à rester à une dislance constante l'un de l'autre, comme cela arrive souvent, il naîtrait de là deux forces égales el contraires, dirigées suivant la droite qui joint ces points et appliquées respectivement à cbacun d'eux. En introduisant ces forces, les points peuvent être considérés comme libres, mais on devra exprimer que leur distance est constante ; ce qui fournil une nouvelle équation entnéme temps qu'il s'est introduit une nouvelle inconnue qui est la grandeur de la force. Ces conditions peuvent se multiplier indéfiniment. Le même point peut être lié à un nombre quelconque d'autres points^ et assujetti à rester sur une ou sur deux surfaces. Chacune de ces conditions introduira toujours une inconnue et une équation, et le problème sera délerminé. De ce qui précède, on déduit la proposition suivante :

Lorsque divers points d^un système en mout^eme/it sont assujettis à rester à des distances constantes les uns des autres, oit à demeurer sur des surfaces ou des lignes variables de position et déforme, le mouvement de ce système relativement à trois axes mobilns, sera identique à un mouvement absolu qu'on déterminer-a de ta manière suivants par rapport à des axes fixes : On fera partir le systèine d'un état initial identique à l'état relatif initial; on appU-

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CBAFITRE XVII. 349

quera d'abord en chaque point des forces dont les composantes seront exprimées parles mêmes fonctions du temps et des nouvelles coordonnées absolues, que les forces données le sont au moyen des coordonnées relatives^ on y joindra les forces fictifes telles qu'elles ont été déterminées dans le cas d'un point libre; enfin les points seront aisufetiis à conserver les dislances données les uns avec les autres, et à se mouvoir sur dts surfaces ou des courbes ayant pour équations, par rapport aux axes fixes, les équations données, exprimées en coordonnées relatives aux axes mobiles.

257, Cas général. — Les conditions que nous venons d'examiner sont celles qui se renconireni le plus ordinairement. C'est pour cela seulement que nous les avons présentées en premier lieu, car nous aurions pu commencer par le cas, tout à fait général, dont nous allons maintenant nous occuper.

Supposons que les liaisons du système soient exprimées par des équations renfermant le temps et les coordonnées absolues x, y, z. x',y' , z', x", /", z", . . ., d'un nombre quelconque de points, M, M', M ",,... Nous avons démontré que le mouvement absolu sera le même que si l'on supprimait les liaisons et que l'on introduisit en ciiaque point des forces déterminées parles équations qui esprimcntces liaisons. Ces forces, pour un point quelconque M ayant pour coordonnées X, /, s par rapport h un système quelconque d'ases, sont normales aux différentes surfaces que l'on obtient à l'insiant que l'on considère, en regardant

X,y,z comn

e seules variables dans toutes les éqi

elles entrent; et les valeurs des composantes de ces forces, parallèlement aux x,y, z, sont les produits des dérivées partielles de ces équations, relalivement à X,y, a, par un facteur commun qui n'est pas donné, et qui est le même

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35o DU MOUVEMENT PEODDIT PiR LES FORCES.

pour toutes les dérivées provenanl de la même équation; en sorte qu'il y a autant de ces inconnues qu'il y a d'équations ; et qu'il est possible, par conséquent, de déterminer, non-seulement les coordonnées de tous les points à chaque instant, mais encore les grandeurs et les directions des forces qui pourraient être substituées aux liaisons, et permettre ainsi de considérer tous les points comme entièrement libres.

Tout cela étant rappelé, il est clair que, si nous concevons introduites ces forces qui remplacent les liaisons, nous retombons dans le premier cas; et le mouvement relatif cherché coïncide avec un mouvement absolu dans lequel ces mêmes forces seraient ajoutées aux proposées et aux forces fictives qui se rapportent au mouvement relatif d'un point libre. Mais comme les forces provenant des liaisons renferment des inconnues nouvelles en nombre égal à celui des équations données, il faudra employer ces équations à leur détermination, afin d'avoir en tout autant d'équations que d'inconnues.

Observons maintenant que si, dans toutes ces équations où nous avons supposé qu'il n'entrait que des coordonnées absolues, on remplace celles-ci par des coordonnées relaves, au moyen des formules ordinaires de la transformaon des coordonnées, rien ne sera changé dans les condides liaisons. Or, à un instant quelconque, on peut supposer qu'on prenne pour axes de coordonnées trois droites coïncidant avec les axes mobiles dans la position qu'ilsoccupent à cet instant. Les équations de liaison seront les équations proposées exprimées au moyen des coordonnées relatives. Les forces à îniroduire auront leurs composantes suivant ces axes, représentées par les dérivées partielles des équations par rapport aux coordonnées relatives, multipliées par des facteurs communs en même nombre que ces équations, comme nous l'avons rappelé en détail tout à l'heure. D'où l'on conclut la proposition suivante :

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