MOUVEMENT D'UN SVSTÈME QUELCONQUE DE POINTS

249. Nous avons vu précédemment comment les équations d'équilibre d'un système quelconque de points soumis

à des liaisons délerminées par des équations quelconques, pouvaient être déduites d'une formule générale par des procédés de calcul réguliers, dépendants, dans chaque cas particulier, de la forme des équations qui en expriment les liaisons. Nous allons maintenant faire connaître une formule générale qui a le même avantage pour toutes les questions de mouvement.

Celte importante formule n'est que l'expression d'une proposition due à d'Alembert, et qui est la généralisation d'une idée conçue par Jacques Bernoulli pour la solution du problème du pendule composé. Cette proposition ramène la question du mouvement d'un système quelconque à celle de l'équilibre du même système. Et l'on conçoit alors comment la formule générale qui fournit les équations de l'é-. quilibre, pourra conduire à la connaissaiici: des équationsdu mouvement.

Nous allons exposer le principe de celte réduction, et nous en déduirons la formule générale du mouvement. Nous montrerons ensuite comment on en peut déduire,, dans cliaque cas particulier, les équations spéciales qui s'y rapportent.

PRINCIPE DE d'ALËMBEUT,

250. Ce principe a pour objet, comme nous l'avons dit, de ramener la détermination du mouvement d'un système

CH&VITIIË XVI. 341

quelcontiue à la considération tlu i'éqiiilibre du co même système.

Loi'sque des points sont soumis n certaines Maisons, les forces qui leur sont appliquées ne leur donnent pas le même mouvement que s'ils étaient enlièremeut isolés et libres; mais si l'on pouvait évaluer les forces qui pixivjennent de ces liaisons, en les joignant pour chaque point à celles qui y sont directement appliquées, on pourrait les considérer ions comme entièrement libres et isolés. Désignons par m ia masse de l'un quelconque d'entre eux, et par x, /, z ses coordonnées ; les trois composantes de toutes les forces ainsi calculées devraient donc respectivement être égalées à

di' ' df ' dl' '

dont nous représenterons la résultante par Q.

Cela posé, soit Pla force donnée qui agit sur le point m^ appliquons à ce point la force Q, et une force égale et contraire Q,, et agissons de mèmepour tous les autres points; rien ne sera changé ni dans le mouvement, ni dans les efforts exercés sur les dîfféreiiles parties du système, puisque les forces introduites se détruisent deux à deux sur un même point, et par conséquent n'établissent aucune action entre deux points différents.

Mais le point m pourrait être considéré comme libre si l'on introduisait les forces que produisent sur lui les liaisons du système ; donc ces dernières doivent exactement détruire P et Qi, puisque la force Q produirait sur ce point libre le mouvemeut qu'il suit réellement. Et, en effet, si les forces P et Q, n'étaient pas détruites par celles qui proviennent des liaisons, elles se composeraient avec elles et donneraient une résulranie qui, conjointement avec Q, devrait produire sur le point libre le même mouvement que la force Q seule; ce qui est absurde. D'où il suit que les

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34a Dl' MOUVEMEBT PRODUIT PAU LES FOnCES.

liaisons du système développent à chaque instant des force» qui font équilibre aux forcer P et Q,, relatives à tous W points. On peut doue (Jiioncer le principe suivant, qui est dû à d'Alembert :

Dans le moiiwement d'un système quelconque de points soumis à des liaisons quelconques, et sollicités par des forces quelconques, il j^ a équilibre à chaque instant^ au moyen de ces liaisons, entre ces forces et des forces égales et directement opposées à celles qui produiraient sur chaque point matériel, supposé libre, le mouvement qu'il suit réellement ; ou, en d'autres termes, entre ces forces et les forces dHneriie développées par chaque point du système.

Quant aux eiîbrts exerces sur le système, ils peuvent, varier à chaque instant, et sont produits par les forces variables qui s'y font continuellement équilibre.

251. Voyons comment ce principe conduit à la détermination du mouvement de chaque point, en fournissant autant d'équations qu'il y a de coordonnées indépendantes. Désignons par X, Y, Z les composantes connues de la force totale appliquée au point dont la masse est m; par X', Y', Z' celles qui se rapportent au point m', et ainsi de suite, ces forces pouvant être nulles pour un nombre quelconque de ces points; d'après te que nous avons dit, il devra y avoir à chaque instant équilibre sur le système entre ces forces et celles dont les composantes sont, pour chacu» des mêmes points respectivement,

'" df '

"* df"

,dH'

. désignant les coordonnées de ces diiférents

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points. En d'autres termes, il doit y avoir équilibre entre les forces suivantes, appliquées respe clive ment aux points m, m', > . . , parallèlement aux axes des coordonnées

Les conditions d'équilibre seront exprimées par l'équation suivante que donne le principe des vitesses virtuelles, en supposant les axes rectangulaires :

de

ôx^ oj', èz désignent les composantes du déplat ninient petit quelconque, que l'on pourrait faire subir au point [x, j', z), à un instant quelconque du mouvement, sans violer les conditions du système, telles qu'elles sont au moment même que l'on considère, et le temps n'étant pour rien dans la considération des déplacements, ou vitesses virtuelles, S:c, S/, 3z. Ainsi les équations qui expriment les liaisons du système, et dont nous désignerons le nombre par A', étant

les valeurs des coordonnées, après le déplacement virtuel, devront satisfaire à ces mêmes équations, dans lesquelles le

temps t n'aura pas varié. La somme "S s'étend à tous les

points matériels du système, et les quantités X, Y, Z seront supposées nulles pour ceux auxquels aucune force ne sera appliquée.

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L'équalion (i) renferme 3n variations, le nombre-dea points étant n; et elles doivent satisfaire aux h équations différentielles des équaiions données L=:;o, M = o,

N ^ o, . , . , ce qui donne

Éliminant Jt variations, au moyen de ces équations, il n'en restera plus que 3i — A' complètement indéterminées. En égalant à zéro les coefficients de chacune d'elles, on obtiendra 3 n — k équations qui, jointes aux k premières, détermineront les coordonnées de tous les points en fonction du temps. Le problème se trouve donc ainsi ramené à l'intégration d'équations dilTéreutielles.

252. Si l'on multiplie les équations (2) par des indéierminécs X, f/, v,..., qu'on les ajoute à l'équation (1), et qu'on égale à zéro les coefficients de chacune des variations, on

Si l'on élimine les k indéierminées X, fx, v,. . ., on obtiendra 3« — k équations différentielles du second ordre entre x,^', z,x',... et le temps t. Ces équations seront

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équivalentes à celles que l'on aurail obtenues en éliminant A variations, comme nous l'avons d'abord indiqué; mais ce procédé a l'avantage que nous avons déjà reconnu, quand nous l'avons appliqué an priccipe des vitesses virtuelles; il détermine les forces dont les équations de condition lieniienl lieu; et les valeurs des quantités X, p, v,... feront connaître les efforis qu'éprouvent à chaque instant les liens qui assujettissent les points à satisfaire h ces équations.

Si le système est déterminé par d'autres variables que les coordonnées de ses points, on suivra toujours la même marcbe; et l'application du principe des vitesses virtuelles fera toujours connaîlre autant d'équations qu'il y a de variables indépendantes ; de sorte qu'en les joignant aux équations de condition, on pourra toujours déterminer toutes les variables en fonction du temps : ce qui est précisément l'objutque l'on se propose.

253. Détermination des constantes. — Les constantes introduites par l'intégration des 3n — A équations difl'éren- (ielles, seront au nombre de Un — a^; et on les déterminera par les données de l'élat initial, c'est-à-dire au moyen des positions de tous les points, ainsi que des grandeurs et des directionsdeleurs vitesses, à un certaininstant, qu'on prendra pour origine des temps. Ces positions initiales ne sont pas entièrement arbitraires, parce que leurs coordonnées doivent satisfaire aux k équations dénuées : de soiie qu'on ne peut se donner arbitrairement que 'in — A de ces coordonnées. De même aussi, les composantes de leurs vitesses doivent satisfaire aux h équations qu'on obtient entre

— -, ,..., en différeniiant les h équations données; d'où

il suit qu'on ne pourra se donner arbitrairement que 3 w — h composâmes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l'état

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initial soit compléiement dctei'miné, ce qui est indispensable, il faut que l'on se donne 6n — 2ft quantités, qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement; maison ne peut pas s'en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentielles, on aura, pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d'abord les k équations données, et ensuite Zn — h équations, renfermant 6n — nk constantes arbitraires. Les 3n — A équations devant être satisfaites à chaque instant, on y fera ( := o, et on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales; il en résultera 3 n — h équations entre les constantes et les quantilés connues; les k équations restantes seront nécessairement satisfaites, puisqtie l'on a dû choisir les coordonnées initiales de telle sorte que les liaisons exigées aient lieu. Différentiant ensuite les 3/; — k équations entre les coordonnées, on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses^ et, si l'on y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes, on aura 3 « — k nouvelles équations entre les constantes arbitraires et des quantités connues. On aura donc ainsi 6«— 2 A équations pour déterminer les 6 « — 2,k constantes; et alors les coordonnées de tons les points du système seront complètement déterminées en fonction du temps.

L'application de cette méiliode à des exemples choisis est nécessaire pour en bien saisir l'esprit ; mais nous renvoyons pour cela aux Traités spéciaux. Nous ne nous proposons ici que d'établir les idées fondamentales, et les ttéories qui constituent la partie élémentaire de la science des forces.

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