CE QDE L'ON ENTEND PAR FORCES INSTANTANÉES. - LEUR

MESURE. - DÉTERMINATION DU MOUVEMENT QUTXLES PRO- DUISENT. — SUPERPOSITION DE LEURS EFFETS.

258. Nous avons démontré (n" 184) qu'une force constante pouvait être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle a produite, divisée par le temps employé à la produire; d'où il résulte que, pour produire une quantité dp mouvement déterminée, il faut que la durée de l'action soit d'autant moindre que la force employée est plus grande, mais qu'il n'y a aucune force qui puisse y parvenir sans employer un certain temps. Néanmoins, si l'effet est produit dans un temps si court, que rien n'ait pu changer sensiblement dans les positions des points, on pourra, dans la plupart des cas, faire abstraction de ce temps ; et, pour indiquer cela, nous donnerons à la force le nom Ae force instantanée.

Pour mesurer, soit la valeur constante d'une pareille force, soit sa valeur moyenne, si elle est variable, on pourrait la rapporter à l'unité ordinaire, et l'on aurait pour mesure la quantité de mouvement produite, divisée par la durée de l'action. Mais cette durée n'étant pas appréciable, au moins dans le cas où il peut y avoir quelque utilité à considérer ce genre de force, il vaut mieux ne pas l'introduire dans la mesure, et se borner à la quantité de mouvement. On supposera alors à l'action la durée que l'on voudra, pourvu qu'elle soit extrêmement petite; les effets n'en dépendront nullement, couime nous allons le faire

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voir en donnant le moyen de les calculer. Ainsi nous mesurerons une force instantanée par la quantité <ie mouvement qu'elle produit en agissant sur un point matériel libre en repos. El, comme la décomposition des forces se fait de la même manière que celle des vitesses, il s'ensuit que les composantes d'une force instantanée, prises parallèlement à des directions données, d'après les mêmes règles que pour les forces continues, ne sont autre chose que les forces instantanées qui correspondraient aux composantes de la vitesse totale suivant les mêmes directions.

Enfin, comme les composantes de la vitesse d'un point matériel , parallèles à trois axes fixes, se trouvent augmentées par l'action de forces quelconques de la même manière que si la vitesse initiale était nulle, il s'ensuit que les composantes de la force instanianée qui agit sur un point matériel en mouvement, sont mesurées par les quantités de mouvement correspondantes aux accroissements des composantes de la vitesse de ce point.

2S9. Pour déterminer l'effet de forces instantanées sur un système quelconque déjà en mouvement, appliquons l'équation (i) à ces forces, eu négligeant toutes les autres, qui ne peuvent produire aucun effet appréciable pendant la durée totale 9 de ces actions, dont les unes peuvent cesser avant les autres. Les valeurs de JC", j", z, x\, . . peuvent être regardées comme invariables pendant ce temps; et il est facile de voir qu'il en est de même de 3x, S/, ôs, .... En effet, ces variations satisfont aux équations différentielles de L ^ o, M = o,. . ■ , dans lesquelles t est considéré comme «ne constante. Or, cette constante ne changeant qu'infiniment peu, dans l'intervalle de temps que l'on considère, les quantités Sx, 3j, ... ne peuvent changer que de quantités infiniment petites par rapport à elles- , et doivent par conséquent être considérées comme

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invariables. Intégrons maintenant l'équation (i) parrapport à (, en prenant pour limites le commencement el la fin de l'intervalle 6; désignons par mX, wiY, mZ les composantes de la force appliquée au point dont la masse est m ;

et par A—, A-f , A— les intefrrales de -r- dt, -^ dt, '^ .dt dt dt ° dt^ de

rf'î , , , . , . . dx dj

—~- dt, qui sont les accroissemenls des quantités —--, —-i dc^ ' ^ ' /// di

-J-; nous obtiendrons ainsi l'équalion

Or, la force appliquée à la masse rn ayant pour composantes mX, mY, mZ, les intégrales m fxdt, m Ç\dl,

m j Ztil sont les composantes de la quantité de mouvement

que produirait celle force dans le temps 8, et, par conséquent, les composantes de la force instantanée, d'après le sens que nous attachons à cette dénomination. Si ou les représente par X,, Y,, Z,, l'équation précédente devient

Mais, si la masse m était libre, les composantes de la force instantanée qui cliangerait les composantes de sa vitesse, de la même manière qu'elles l'oui été, seraient

ds: dy dt

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