MOUVEMENT PRODUIT

le second membre est donc toujours positif, et par conséquent le travail moteur surpasse toujours le travail résistant. Us seront égaux lorsque la machine reviendra au repos. Si le mouvement de la machine devient uniforme, ce qui est ordinairement le plus avantageux, et qu'on ne le considère qu'après que l'uniformité est établie, le premier membre de l'équation (2) est nul, et, par conséquent, le second l'est aussi : d'où l'on conclut que, dans un intervalle de temps quelconque, le travail moteur est égal au travail résistant. Maïs, comme ce dernier se compose du travail que l'on avait en vue de produire et qu'on nomme le travail utile, plus le travail correspondant aux frottements, aux résistances des milieux, à la communication du mouvement aux corps environnants, etc., il en résulte que dans toute machine on est obligé de dépenser plus de travail que l'on n'en produit. La meilleure n'est que celle où l'on en perd le moins; et l'avantage des machines en mouvement n'est que de transformer le travail, mais non de l'augmenter.

Lorsque les vitesses sont devenues constantes, il doit y avoir équilibre entre toutes les forces, et, en effet, l'équation

donne, en la diii'érentiant,

équation qui sera satisfaite si le système, quel qu'il soîl, est en équilibre, et qui en est la i-ondition suflisanle, s'il est à liaison complète.

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28S. Lorsqu'on veul évaluer le travail correspondant au frottemeitt d'un corps en mouvement, et que le contact n'a pas lieu en un point constant de ce corps, il no faut pas regarder la force de frottement comme appliquée au point où le contact s'opère, et prendre la distance de deux points de contact consécutifs comme l'espace parcouru par le point d'application de la force. Il faut, pour faire usage du principe des forces vives, que les forces soient appliquées aux mêmes points matériels pendant ce temps très-court relatif aux déplacements dx, dj, dz. Or, la force de froltcment étant tangente au corps, peut être considérée comme appliquée au même point de ce corps, pendant un temps irèscourt, en négligeant une distance infiniment petite du second ordre. On devra donc prendre, dans l'évaluation du travail élémentaire dû à un frottement, le produit de la force de frottement par la projection du déplacement, dans l'espace, du point du corps qui était au contact à l'instant que l'on considère,

289. S'il y a des chocs entre certaines parties de la machine , que nous supposerons que l'on puisse regarder comme sensiblement dénuées d'élasticité, il y aura instantanément une perte de force vive, représentée par la somme des forces vives dues aux vilesses perdues par tous les points du système. Si l'on représente par u celte vitesse pour la masse quelconque m, les intégrales du second membre de l'équation {2) n'ayant pas varié sensiblement pendant la durée du choc, on aura, en désignant par v la vitesse de la masse m après le choc,

de sorte que, pour maintenir les vitesses c à des valeurs déterminées, on sera obligé de dépenser une quantité de

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travail plus grande de - Vm«' : il est donc utile d'éviter les chocs autant que po^.sible.

290. Lorsque le mouvement de la machine n'est pas uniforme, il faut du moins qu'il soit périodique. Dans ce cas, si les intégrales qui entrent dans l'équation (2) se rapportent à un nombre cnlier de périodes, on a c := f^,, et, par conséquent, le travail moteur est égal au travail résistant, comme sî le mouvement était uniforme", et, réciproquement, si ces deus quantités de travail sont les mêmes dans l'intervalle qui s'écoule entre deux positions identiques quelconques du système, les vitesses redeviennent les mêmes après cet intervalle, et le mouvement est périodique. Mais il ne suffit pas d'obtenir une même quantité de travail, il est presque toujours très-important que ce travail soit produit uniformémenl. Il est presque impossible de parvenir à une uniformité rigoureuse, mais on peut rendre à peu près insensibles les changements de vitesse pendant le cours d'une période. Le moyen qu'on emploie le plus ordinairement consiste à inlroduire dans le système une masse assez considérable, à laquelle on donne le nom de volant, et dont l'effet est de diminuer les variations de vitesse correspondantes aux variations de la diflerence entre le travail moteur et le travail résistant. Pour que le volant charge moins les supports, îl est utile qu'il ait la moindre masse possible, et pour cela on lui donne la forme d'une roue dont la masse est presque tout entière à la circonférence. Si l'on désigne par (o sa vitesse angulaire, la somme des forces vives de ses points pourra être représentée par fiw', fx étant une constante dont il sera facile de déterminer la valeur, de quelque manière que

soit répartie la masse du volant. Soit ^mc' la somme des forces vives de toutes les autres parties de la machine, et

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; XIX. Sgô

désignons par ut' et c' les valeurs de a) et f à une môme époque; l'équaiion (a) pourra se mettre sous la forme

Prenons pour les deux limites des époques telles qu'il y ait

le plus de différence possible entre I Vprfp et V I Qdq;

il est facile de voir que ce sont celles où les forces seraient en équilibre sur la macbine : car, à ces deux époques, les élémenls de l'iatégrale qui forme le second membre cbangenl de signe. Il en résulte que ces époques sont aussi celles du maximum et du minimum des vitesses. Or, plus fx sera grand, moins il faudra que w et w' soient différents, ainsi que i" et ^'', pour que le premier membre soit égal au second; et l'on peut, dans chaque cas, déterminer le volant de manière que les changements de vitesse soient compris dans des limites suffisamment petites.

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