CHAPITRE XX

dt se rapportant au mouïeinent qui a réellement lieu ; nous aurons

et, par suite,

Mais ou a, en désignant par C unequairtîté constat! le,

et la forme du second membre sera la même pour tous les mouvements que Ton considère, puisque les forces restent les mêmes. Si donc on prend la variation des deux membres, ou aura

et, d'après l'équalion générale du mouvement, cetie dernière expression est égale à

jLà \ rW dC ■' dp j

On aura donc

Pour calculer la seconde partie, nous observerons que l'équalion

ds^ ^^ dx- -+- liî ' + dz^

donne

ds5ds = lUSdx + dySdy + diSdz,

Hosted by

AgO DU MOOVEMEKT PRODUIT PAR LES FORCES.

ei, parsuile,

dt de "^ dt

Donc

ei, en réunissanl les deux parties de la \arialion de Vmt^dj, il vient

Si maintenaDt on intègre les deux membres, on aura

mais, aux deux limites de i'itilégrale, les variations cî.r, oy, §z sont nulles, puisque les extrémités des courbi-s décrites restent les mêmes : donc le second membre est nul , et l'on a

comme il fallait le démontrer.

D'où l'on conclut c(ue l'intégrale

est un minimum dans le mouvement du système.

292. Si les points ne sont soumis à l'action d'aucune force, on a

A étant constant.

Hosted by

V(— ^( + Ci = A((-

( et (( étant les valeurs du temps aux deux limites; etj comme rinlégrale est un minicnum, il s'ensuit qu'il en est de même de t — ?i, et que, par conséquent, le système passe d'une position à une autre dans moins de temps que si l'on introduisait de nouvelles liaisons quelconques.

Si l'on considère un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, sans être soumis à l'action d'aucune force, sa vitesse est coiistanie ; et le temps qu'il met à passer d'un point à un autre étant un minimum, il s'ensuit que la longueur de la ligne parcourue est aussi minimum, nous l'avons déjà démontré d'une autre manière.

Hosted by