CHAPITRE SXIV

en trois forces agissant suivant îcs axes, i:l trois couples situés Jans les plans coordonnés, on troincia pour expressions (le ces forces

wMj,,

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étant Vx et Vy du centre de gravité, et angulaire produite; les moments des trois coi leurs axes suivant les axes des x, des y ei de, respectivement les valeurs aoivatuea :

ù la viiesse pU;s ayant z, auront

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-tx-.J'"''"'-

« et b désigiiaiH les coordonnées du point d'application de la force.

Les (rois forces et les deux premiers couples sont évidemment détruits par l'axe, et font connaître les elforts qui tendent à l'entraîner. Quant au troisième couple, il est nul ■de lui-même, sans quoi l'éi^uilibre n'aurait jias lieu ; et c'est cette condition qui détermine la valeur de la vitesse angulaire, comme nous Favons vu précédemment. Ce couple ne produit donc aucun eilbrt sur l'axe.

309. Si l'on veut savoir dans quelles circonstances le mouvement initial du corps se produira, sans qu'aucun effort soit exercé sur l'axe, il faut exprimer tjne l'équilibre a lieu sans que l'axe produise aucune force, et, par conséquent, par la liaison seule des points dn corps; c'est-à-dire qu'on peut supprimer l'axe et considérer le corps comme entièrement libre. Or on sait que dans ce cas il faut que la force résultante soit nulle, ainsi que le couple résultant. Il faut donc que les trois composantes de la force soient séparément nulles, ainsi que les moments des trois couples composants.

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4^0 DC MOUVEMEKT PHODUIT PAU LES FOBCES.

On aura ainsi les six équations suivantes ;

Xm-mMji — o, y — «Ma^, = o, Z = o,

Elles sont suffisantes; car, si elles ont lieu et qu'on donne Timpulsion en retenant l'axe, la vitesse initiale sera w, et l'axe n'éprouvera aucune percussion: il était donc inutile de le tenir.

Si l'on en élimine w, on aura enireles données les conditions nécessaires et suffisantes pour cjue l'axe ne reçoive aucun choc pour acquérir instanianément sa vitesse angulaire. Mais il est bon de simplifier ces calculs, en faisant passer le plan des x et ^ par le centre de gravi lé du corps, parce qu'on a alors j', = o, et les équations dc-vîemient X = o, Z = o, Y=-.ailcc„ N ^îrfw =: O, ^^jzdm = o, aY ^ o) > r'dm.

Les deux premières expriment que la force est perpendiculaire au plan ZX*, la quatrième et la cinquième expriment que l'axe fixe est un axe priucipal d'inertie relativement à l'origine.

Les deux autres donnent une nouvelle condition, par l'élimination de o), et, déplus, ia valeur même de w. Cette condition est

On voit par là que la dislance a de la force à l'axe est prëcisémeut la longueur du pendule composé que fonne-

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rait le corps, si on le soumettait n l'aclion seule de ia pesanteur, après avoir doimé à l'ase auquel il est lié une position horizontale.

Quant à la vitese angulaire w, elle aura pour valeur

«omme nous l'avions trouvée précêdemnieni, Y et « étant ici ce qui était désigné par P et p.

310. En résumant ce que nous venons de démontrer, on aura les conditions suivantes, nécessaires et sut'tisanies pour que l'axe ne reçoive aucun choc :

i" Que la force instantanée soît perpendiculaire au plan passant par l'axe et le centre de gravité du corps;

a" Que cet axe soît un des axes principaux du corps par rapport an point où il est rencontré par le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force;

3° Que ia distance de la force à l'axe soit la même que celledu centre d'oscillation du corps autour de ce même axe,

Cette dernière condition mojitre que la question proposée est impossible quand le centre de gravité est sur l'axe; car, alors, la distance de la forée à l'axe aurait une expression infinie.

Le point où la force doit être appliquée dans le plan passant par l'ase et !e centre de gravité se ttomme centre de percussion, il est situé sur la ligne qui contient les centres tî'oscillatiou, et par conséquent est l'un de ces «entres; eu ne réservant pas cette dénoniiitation, exclusivement à celui qui est sur la perpendiculaire abaissée du centre de gravite sur l'axe,

Réciproquenienl. — Si le corps était ,en ciouvemeiit autour de l'axe, ou pourrait l'arrêter brusquement, au moyen d'une force appliquée au centre tle percussion, sans

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qu'il en résuliàl aucun cffel sur l'axe, en suiiposant ijue les circonstances que nous avons indiquée aient lieu.

3U . Cas où l'axe a un pointjîxe. — Nous venons tie faire connailre les roncii lions pour qu'une force instantanée produise une rotation autour d'un axe purement idéal, incapable de résistance. Kous allons maintenant examiner le cas où il cxislerail un point fixe dans le corps. La foi'ce instanianée produira un mouvement inilial qui ne peut être qu'une rotation autour d'un axe passant par le point fixe, et que nous ne nous proposons pas ici de déterminer généralement; nous voulons seulement chercher les conditions pour que cet axe soit, comme dans le cas précédent, perpendiculaire au plan contenant la force et le point fixe. La question ainsi posée se résout immédiatement au moyen des calculs qui précèdent.

En effet, prenons ce plan pour celui des X, j, le point fixe pour origine, la perpendiculaire à ce plan pour axe des s, et l'axe des x perpendiculaire à la force, qui se réduira à Y, On aura alors

Les expressions (i) deviendront

Muj-,, Y — Mu.r„ et les expressions (î)

— at^xzdm, id ^^yzdm, aY — a^ r't/ni,

et, comme les forces appliquées à Torigine fixe sont détruites par sa résistance, îl est nécessaire et suffisant que les momenis des trois couples soient nuls, ce qui donne

> xsdin = o, \ vïrfm =: o, w ^= = ;— .

Les detis premières équations expriment que l'axe des ^

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