DIVERSES PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT D'UN CORPS AUTOUR DUN AXE FIXE

306. Centre d'oscillation. — On nomme centre d'oscillation (l'un pendule composé, tout point faisant partie dece corps, ou lié invariablement à ce corps, dont le mouvement esi le même que s'il était isolé et obligé de se mouvoir autour du même axe sous l'action seule de la pesanteur. D'après cela, tous les points de la droite menée parallèlement à l'axe, à une distance égale à la longueur du pendule, c'est-à-dire à ■■-■ — 5 et située dans le plan qui passe

par l'ase et le centre de gravité du corps, seront des centres d'oscillation. Quelques auteurs appellent plus particulièrement centre d'oscillation celui de ces points qui, dans l'état d'équilibre, est situé sur la verticale qui passe par le centre de gravité.

Si nous désignons par MA' le moment d'inertie du corps par rapport à une parallèle à l'axe, menée par le centre de

gravité, le moment ^'r'rfm par rapport à l'axe de suspension sera égal au moment par rapport à cette parallèle, augmenté du produit de la masse M du corps par le carré dela distance /. Si nous désignons le dernier moment par MA',

la longueur du pendule sera /-H-j-; et les centres d'oscillation seront plus éloignés de l'axe de suspension que le centre de gravité, d'une quantité égale à y

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ni. 417

Les distances du centre de gravité à )'axe et à la ligne des centres d'oscillation, donnant pour produit A', il s'ensuit que si Von prenait cette dernière pour axejîxe., la première deviendrait la ligne des centres d^ oscillation. La longueur du pendule serait donc la même qu'auparavant, et. son mouvement serait identique.

Il en serait encore do même si l'on prenait pour axe de suspension toute autre droite pajallèîe située à la même dislance du centre de giavité, puisque / et A' ne changeraient pas.

En général, le mouvement sera le même autour de tous les axes qui donneront la même longueur au pendule. Si l'on désigne par / la distance d'un ase quelconque au centre de gravite, par a, Ê, y les angles que sa direction fait avec les axes principaux relatifs à ce point, et par A, B, C les moments d'inertie par rapport à ces axes, on aura M^' 3= Acos'a + B cos'Ê + Ccos'7,

et la longueur /-H -~- du pendule sera

Or, cette longueur peut rester la même pour une infinité de droites différentes, puisque or, f, y, / sont indéterminés.

307. Si l'on cherche les valeurs que doivent avoir ces indéterminées, pour que l'expression précédente soit minimum, ou saura autour de quel axe il faut que le mouvement ait lieu pour que l'oscillation se fasse dans !e moinehe temps possible.

Or, parmi tous les axes pour le/iqueis A" serait conslant,

celui qui donne le maximum pour la longueur /-(- — ) correspond à /= A ; et la longueur du pendule est alurs égale

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4l8 DU MOUVEME

à 2A. Elle sera dom; la plus pelîte possible lorsque k aura sa plus petite valeur. Ainsi, l'oscillation sera la plus courte lors([ue l'axe tie suspension sera parallèle à l'axe du plus |)etit moment d'inertie, relatif au centre de gravité, et que sa distance à ce dernier sera égale à la racine carrée du rapport de ce moment à la niasse du corps.

308. Centre lie percussion . — Lorsquenous noussommes occupé de l'effet produit par une force instantanée sur un corps solide lié à un axe fixe, nous n'avions pour objet que de délerminer la vitesse angulaire qu'elle communiquerait immédiatement au système. Nous allons maintenant envisager son effet sous un autre point de vue; nous allons chercher quels sont les chocs produits par l'axe fisc, et particulièrement quelles sont les conditions pour qu'il n'en reçoive aucun.

Pour cela, i! faut considérer toutes les forces qui doivent être en équilibre, d'après le principe de d'Alembert, et les diviser en deux groupes; le premier, composé de forces appliquées immédiatement à l'axe; le second, de forces détruites par la liaison même des points du corps entre eus, et qui ne' peuvent par conséquent affecter l'axe en aucune manière.

A cet effet, on prendra l'axe fixe pour axe des z, et, pour plan des x etj, celui qui serait mené par le point d'application de la force, perpendiculairement à cet axe.

L'équilibre devra avoir lieu entre la force instantanée, dont nous désignerons les composantes par x^y^ z, et des forces égales et opposées aUx quantités de mouvement communiquées instantanément à chaque particule dut, dont les

composantes sont -^Jm, —-dm, —dm; mais la dernière

est nulle, puisque le z de chaque point «st invariable. En décomposant, suivant l'ordinaire, toutes les forces

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