DU DOUBLE MOUVEMENT D UN COUPS SOLIDE LIBRE
318. Lorsqu'un système rigide est passé d'une position à une autre, on auraitpu l'y faire arriver en lui donnant un mouvement de translation par lequel tous les points décriraient des droites égales et parallèles à celle qui joindrait la première et la seconde position d'un de ses points, choisi à
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cniPiTm XXV. 437
volonté; puis en donnant au système un mouvement convenable autour de ce point fixe.
Le point choisi poui- opérer la translation est arbitraire, et il y a par conséquent une infinité de manières de faire passer un corps d'une position à une autre par une translation et une rotation : ce n'est là qu'une question de Géométrie, dans laquelle la considération des forces n'entre pas. Mais lorsque le mouvement est continu et produit par des forces données, il n'y a plus rien d'arbitraire, et il s'agit de déterminer toules les positions successives dans lesquelles se trouve, effectivement , le corps à chaque instant.
La méthode qui conduira aux équations du mouvemenl consistera toujours à exprimer l'équilibre entre les forces extérieures appliquées au corps, et les forces d'inertie développées par tous ses points ; ces équations seront au nombre de six, puisque le corps est entièrement libre. Quant au mode de détermination du corps, on considérera, comme dans le problème précédent, trois axes qui lui soient invariablement liés, et l'on verra bientôt l'avantage qu'il y aura à choisir le centre de gravité pour leur point de renconlre. On prendra alors pour inconnues les coordonnées du centre de gravité, et les angles que les directions de ces axes font avec celles d'a;ses fixes; ou simplement trois angles analogues à ceux que nous avons employés dans la question précédente. On aura ainsi six équations et six inconnues, et le problème sera déterminé.
On voit que la question est beaucoup plus compliquée que la précédente, dans laquelle le point de rencontre des axes mobiles était fixe. Aussi nous bornerons-nous à faire connaître une décomposition remarquable de ce mouvemenl, dont la démontration n'exige aucun calcul.
A^ous nous occuperons d'abord de la détermination de l'état initial, résultant de forces instantanées appliquées
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438 DU MOUVEMBMT PRODUIT PAR LES FOltCES.
au corps à l'etai de repos. Nous consîtiereioiis ensuite les ^tats résullantiie l'état iuilial et de Taciion des forces conliuues.
319. Moui'ement inilial produit par des forces insiantanées. — Toutes ces forces peuvent être réduites à une résultante appliquée au centre de gravite et à un couple; et nous avons démontré qu'où peut calculer séparément l'effet produit par l'une et l'autre sur le corps panant du repos, puis composer les vitesses acquises dans ces deux cas. Examinons successivement ces deux effets.
Nous savons d'abord que le centre de gravité prendra le même mouvement que si toute la masse y était réunie et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes; ce qui donnerait ainsi la résultante même, puisque les deux forces du couple s'y détruiraient. Cette force étant connue ainsi que la masse totale, la vitesse initiale du centre de gravité le sera par suite.
Reste à connaître les vitesses initiales produites sur tous les atitres points par l'action de cette même force,
320. Effet d'une force appliquée au centre de gravité d\in corps. — Si l'on décompose le corps en éléinenls infiniment petits en tous sens, la force donnée pourra être décomposée en forces parallèles, appliquées à ces éléments proportionnellement à leurs masses. Si tous ces éléments étaient libres, ils se mouvraient parallèlement à la force donnée, avec une vitesse égale au rapport de la force qui leur est appliquée, à leur masse, et par conséquent au rapport de la force totale à la masse totale ; ce qui n'est autre chose que la vitesse dn centre de gravité. D'où l'on conclut qu'une/b/'ce quelconque , appliquée au centre de gravité d'un corps solide, fait acquérir à tousses points une vitesse égale, parallèle à la force, et la mdine que si toute la niasse était réunie au centre.
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CHiPITiSK XXV. 4^9
Si la force est de celles qu'on appelle instantanées, la vitesse acquise pendant le temps extrèjnemeol petit de son action, sera une vitesse finie. Si au contraire c'est une force finie, la vitesse acquise dans un temps infiniment petit sera infiniment petite, et la proposition précéîlenie subsistera toujours. Dans le cas où cette force finie agirait pendant un temps fini, dans une direction constante, les vitesses acquises s'ajouteraient et produiraient une vitesse finie, déterminée toujours par le même lliéorèmc.
321. Maintenant que nous connaissons l'effet d'une force quelconque appliquée au centre de gravité d'un corps libre, et dans le cas actuel cette force étant la résultante de toutes les forces instantanées qui doivent produire l'état initial, nous pouvons énoncer cette proposition :
L'effet produit par la résultante des forces instantanées transportées au centre de gravité^ est de faire ac~ quérir à tous les points des vitesses parallèles à cette force et égales à celle qui aurait lieu si toute la masse était réunie^ et toutes les forces transportées^ au centre de gravité.
322. £ff'et du couple instantané. — Passons à l'cflet du couple instantané, appliqué au corps en repos.
Le centre de gravité ne sera pas déplacé, puisque les deux forces du couple transportées en ce point se détruiraient; d'où l'on conclui que rien ne serait changé dans l'effet produit, si l'on fixait invariablement ce point.
Mais alors on pourrait introduire en ce point la résultante générale, puisqu'elle serait détruite par la résistance du point fixe : on peut donc dire que l'effet du couple est le même que serait celui de tontes les forces données, si Von fixait le centre de gravité. D'où résulte enfin cette proposition générale qui donne la détermination de l'e'tat initial :
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44o DU MOXIVEMEMT PBODIIIT PAR LES FORCES,
Les vitesses que prennent instantanément les différents points d'un corps solide libre, peuvent être consiJcrées comme les résultantes de celles qui se rapporteraient à deux mouvements distincts : l'un de translation, produit par les forces d^ impulsion transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité j l'autre de rotation, produit parlesystème même desjorces données, agissant sur le corf?s dont le centre de gravité aurait été invaria~ hlement fixé .
Au moyen de cette proposition, le mouvement initiai du corps est entièrement connu, puisque l'on sait déterminer celui d'un corps autour d'un point fixe. Quant à ce qu'il deviendra par la suîle, nous savons <jue le centre de gravité se mouvra de la même manière que si toute la masse y était réunie, et que toutes les forces continues y fussent transportées, sans changer de grandeur et de direction. Mais ces forces, dépendant, en général, de la position des points, se trouvent, par cela même, dépendantes du mouvement de rotation ; de sorte que l'on ne peut calculer séparément le mouvement du centre de gravité du corps, excepte dans le cas particulier où les forces auraient des directions et des intensités constantes, comme par exemple dans le cas de la pesanteur.
Au reste, on peut toujours établir la même proposition relativement aux forces continues, que relativement aux forces instantanées. En effet, considérons le corps à un instant quelconque ; on peut supposer qu'il part du repos et qu'il est sollicité, d'itn côté, par des forces instantanées qui donneraient à chaque point la vitesse qu'il a ; d'un autre côté, par les forces continues qui ne peuvent produire que des vitesses inliniment petites dans un intervalle de temps infiniment petit, et que l'on peut regarder comme des forces instantanées agissant au commencement de cet in* tervallede temps infiniment petit. Or, d'après le principe
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CBAPITRE XXV. 44'
que nous avons rappfilé, on peut déterminer séparément les vitesses produites par ces deux systèmes, et les composer ensuite. Le premier produira l'effet qui avait réellement lieu à l'instant considéré; le second est identique avec celui que nous avons discuté d'abord, et, par conséquent, il produira une vitesse de translation infiniment petite, due à toutes les forces continues transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et un mouvement de rotation autour du centre de gravité rendu fixe, produit par toutes ces forces dans leur véritable position.
Ainsi donc, si Von conçoit par le centre de gravité du corps trois axes rectangulaires qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes, leur point de rencontre se mouvra comme si toute la niasse du corps y était réunie, et que toutes les force/s, instantanées ou continues, j fussent appliquées; et le mouvement du corps, par rapport à ces axes, sera le même que si lew point de rencontre était invariablement fixé, et que toutes les forces qui sollicitent à chaque instant les différents points dans le mouvement réel fussent appliquées de la même manière à ces mêmes points.
323. ^application à l'ellipsoïde pesant. — Supposons qu'un ellipsoïde homogène reçoive une impulsion dont la direction soit comprise dans le plan de deux de ses axes principaux relatifs à son centre de gravité, et soit ensuite abandonné A l'action de la pesanteur. Désignons par f^c la quantité de mouvement qui mesure la force instantanée, par /la distance de cette force au centre, par h cl c les deux demi-axes qui sont dans le plan de la force, et par n le troisième; enfin par M la masse de l'ellipsoïde, et par V la vitesse initiale de son centre de gravité.
Le centre de gravité, qui est le centre de l'ellipsoïde, devant se mouvoir comme si la masse M y était concentrée,
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et fût sollicitée an premier instant par la force fie, puis par son poids, ce point prendra d'abord, dans une direction parallèle à celle de l'impulsion, une vitesse dont la valeur sera
et il décrira une parabole tangente à cette direction initiale, et dont réqualion se calculera comme dans le cas d'un point libre. Pour connaître son mouvement par rapport à trois axes passant par son centre et parallèles à des directions fixes, il faut supposer que le centre soit fixe et que la force d'impulsion ainsi que lapesanteuragîssent sur l'ellipsoide ainsi assujetti. Mais on peut faire abstraction de la pesanteur, puisque le centre de gravité est fixe, et il suffit de déterminer la rotation produite par l'impulsion. Cette force étant située dans un plan perpendiculaire à une droite, qui est un ase principal relativement au point où elle est coupée par ce plan, et de plus ce point étant fixe, il s'ensuit que le mouvement aura lien indéfiniment autour de cet axe. La vitesse angulaire w s'obtiendra en divisant le moment fti^de la force par le moment d'inertie du corps par rapport l'i l'axe fixe; on aura donc
On voit donc que l'axe de rotation se transporte parallèlement à lui-même, et que le corps tourne tiniformément autour de celte droite, que l'on pourra déterminer à cliaque instant, puisqu'on connaît le mouvement du centre de gravité qui en est le milieu. On déterminera donc facilement
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