IM + N
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Ces irois équations doivent éire jointes à celtes qui déterminent p, (j, r en fonction des angles «, &, c, a',.., . Ces dernières peuvent s'exprimer au moyen de trois angles ©, ijj, 9 {Cours de Mécanique). En faisant celte transformalion, on trouve
On a ainsi un système de six équations différentielles du premier ordre, qui déterminera les six fonctions />, q, r, y, ifi, 6 en fonction de (. Les six constantes arbitraires se détermineront par les positions et les vitesses initiales.
317. Ces équations ne peuvent être intégrées que dans des cas particuliers.
S'il n'existe aucune force extérieure, les équations (i) se réduisent à
On
tire
facilemeiii
l de ces
équations
les deux
kp
dt ~"°'
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d'où
k ei k étant des constantes qui seront déterminées par l'état initial. Tirant de ces équations les valeurs de p et ç, et les reportant dans la troisième, on anra
Cy/ABA'
Cette expression ne peut être intégrée sous forme finie que si deux des trois moments d'inertie Â,B,C sont égaux, ou si fi* est égal à l'une des trois quantités Ah, B/t, C/j. Effectuant alors l'intégration, on aura l en fonction de r, d'où /■ en fonction do (, et, par suite aussi, p et q. II ne restera plus alors qu'à déduire des équations (s) les valeurs de y, ij., 6.
Mais il sera plus avantageux de faire usage du principe des aires, et de prendre pour plan des x et j' le plan invariable du maximum, ou, en d'autres termes, celui du couple résultant des quaniîlés de mouvement, lequel est constant en direction et en grandeur, puisque les forces extérieures sont nulles.
De là résuheront les équations suivantes {Cours de Mé- ■caniqiie) :
h désignant la valeur constante connue du moment du couple résultant \l&?p^ +- l}'ç^4-C*y*.
Ces trois dernières équations se réduisent à deux, parce que la somme de leurs carrés est une identité. On ne pourra donc en tirer que les valeurs de deux des angles. On obtien-
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dra ainsi
Au Cr
et l'on n'aura recours aux équations (2) que pour la détermina lion de 1^.
Pour cela, on éliminera — des deux premières, et l'on aura
■ .d^ /-sinç + îcosç = sine— ,
ou, d'après les équations (5),
Afi' -t- B7' . . '^'1'
A sine "^'" 'dï' ou
remplaçant Ap^-f- Biy* par son égal /i — Cr', on aura j, i{h — Cr')
■•■i= 1.-CV ■"•
Si l'on remet maintenant pour rfi son expression (4)) on aura à effectuer une quadrature qui sera possible sous forme finie dans les mêmes cas que celle de dt.
Nous renvoyons, pour les détails, au Cours de Mécanique, où l'on trouvera la démonstration de quelques-uns des beaux théorèmes que Poinsot a fait connaître.
