ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE SUR UN POINT EXTÉRIEUR
148. JVous avons calculé précède in me ni l'acnoii d'un ellipsoïde plein, homogène, sur un point quelconque de son intérieur ou de sa surface, 11 reste à calculer celle qu'il exerce sur un point extérieui-; question beaucoup plus difficile, et qui a assez longtemps arrêté les géomètres. Leurs efforts tendaient à ramener ce cas au premier. Maclaurin l'a tenté le premier, et n'a pas complètement réussi ; d'autres géomètres y sont pariewtis après lui, mais si péniblement, qu'on avait continue les recherches sur ce point important. Enfin, Ivory est parvenu à découvrir un théorème remarquable par sa simplicité, et qui ramène presque sans travail la seconde question à la première. Elle est fondée sur les propriétés des points correspondants, et c'est pour cela que nous avons exposé cette théorie avec quelque détail.
149. Théorème (V Ivory , — Ce théorème ramène l'action d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur quelconque, à celle qu'exercerait un ellipsoïde homofocal passant par ce point, sur le correspondant de ce point sur la surface de l'ellipsoïde donné : question dont on connaissait la solution, que nous avons précédemment exposée.
Soient a, ê, •/ les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A, B, C; la composante X de son attraction sur ce point sera
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aoo DK L ÉQUILIBRE DES FORCES.
les intégrales s'étendaiil au volume entier. Intégranl pac rapport à x, et désignant par ri, i\ les dislances du point attiré aux points extrêmes du filet de l'ellipsoïde, dans lequel on a fait l'intégrallou, on trouvera
Concevons maintenant un ellipsoïde Tiomofocal avec premier, passant par le point donné, et cherclions son a traction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle flj-' dz', dont les points seront les correspondants de ceux de dy ds, et nous intégrerons dans l'étendue du filet du second ellipsoïde, qui se projette suivant (/j^'^ïs' sur le plan YZ. Nous trouverons, pour la composante de l'attraction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné,
-fp
ff
Les rayons rj et )\ sont les mêmes que pour le premier el-
lir
nde,
puisque
t respecUvemenl cor-
respondantes de celles des aulr
Or,dyelz':dydz:;B'C':'BC\ et celle proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques, aura lieu pour les intégrales elles-mêmes; d'où résulte
x:x';:BC:B'c',
Y:Y'::AC;A'C, Z:z::AB; A'B'.
On peut donc énoncer le théorème s d'Iïory :
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Les atlractions que deux ollipsoïdes hotnofocaax exercent parallèlement à chaque axe, sur lieux poin/s coiTespondants placés sur leujs surjaces respectives, sont eriti'e elles comme les produits des deux axes perpendiculaires à chaque composante.
Remarque. — Poisson a iiionlré que ce tliéorème était indépendant de la loi d'attraction. Car si la fonclion de la distance qui expiime l'attraction est désignée par F(/), on aura
r{3: — «)dxdrdzFir)
^-^'ffp'
intégrant par rapport à x l'expression [x — a)F(r)— » ou F[r)dr, et désignant le résultat par ^(''), on aura
Pour le second ellipsoïde, on trouvera de même
-'^ff'-
J dr'dz'[f{r,)~^(r,)\;
d'où l'on conclurait encore
x:x'::BG:B'C',
et de même pour les autres composantes.
150. Application duthéorème d' Ivoiy . — On voit que, d'après ce théorème, on connaîtra les composâmes de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur, en faisant passer par ce point un ellipsoïde liomofocal, et chercliant les composantes de son attraction sur le point correspondant de la surface du premier,, qui est dans son intérieur; puis multipliant les composantes par les rapports des produite des axes perpendiculaires.
Soient A, B, C les trois demi-axes de l'ellipsoïde pro-
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20Ï DE L ÉQUILIBRE DES lOUCES.
posé, A', B', C ceux de l'ellipsoïde liomofocal passant par le point donné (a, 6, y) ; A", W, C" ceux d'un ellipsoïdo semblable au second eL passant par le point [a', 6', y'} correspondant à (a. S, y) sur le premier; enfin M, M', M" les volumes de ces trois corps.
Les composantes de l'aitraciion du troisième ellipsoïde sur le point («', 6', y') seront les mêmes c[ue celles du second. On aura donc, d'après les formules connues pour les poiiUs de la surface,
Mais, d'après la similitude des deux derniers ellipsoïdes,
Tïïi^ —r^i et, de plus, a. ^ — ^; donc, eu observant i
l'on a B'' — A" ^- B^ - A% C" — A" = C'~ A% on ai
