DIGRESSION SUR UNE TRANSFORMATION DE LIEUX GÉOMÉTRIQUES
140. La méthode du changement de variables est d'une grande utilité, soit dans la science des nombres, soit dans ses applications à la geomélric. Dans ces dernières, on a le plus souvent pour objet de déterminer les mêmes lieux par des variables différentes; mais quekjucfois aussi on change la forme des lieux, ou la position des points, et Newton en a donné le premier un remarquable exemple.
Le changement de variables dont nous allons parler est de ce genre. Les coordonnées d'un point étant données, les nouvelles variables correspondantes sont, non les coordonnées du même point par rapport k d'autres axes, mais celles d'un point différent par rapport aux mêmes axes; et la liaison de ces variables consiste en ce que les rapports des coordonnées parallèles au même axe sont constanis, mais différents pour les trois axes. On donne particulièrement le nom de points correspondants aux deux points quelconques qui sont ainsi déterminés l'un par l'autre.
Tout point peut être considéré comme appartenant au premier système, et l'on obtiendra le corresponiîant en multipliant les coordonnées du premii^r par les rapports donnés. Réciproquement, on obliendraîl les coordonnées du premier en divisant par ces mêmes rapports celles du correspondant dans le second système. Il faudra donc, lorsqu'on voudra trouver le correspondant tl'un point, indiquer avec soin de quel système il fait partie et ne pas confondre les deux rapports inverses.
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i(j4 i*E l'équilibre des forces.
Nous allons traher fjiicltjoes questions simples, rclalhc à ce mode de transformation, et qui nous seront utiles clan la ihéorie de l'attraction.
ii\. Èfjualion de la surface correspondante rViine sur face donnée.
Soient F (a:, j', z) ^o l'équation d'une surface; h/, », f. les nombres constants par lesquels il faut multiplier Yx. Vj et le z d'un quelconque de ses points pour obtenir lef coordonnées S, Y, Z du point correspondant, on aura
sultera entre X, Y, Z, l'équatioi
qui sera celle de la surface correspondante de la première.
Si m = « = p, les deux surfaces seront semblables.
On voit que le degré de ces deux cquations est le même. D'où il suit que la surface correspondante rfim pla/i est un plan, mais non parallèle en général. Si le premier est parallèle à l'un des plans coordonnés, le second le sera aussi. S'il est parallèle à l'un des axes, l'autre le sera au même axe. Si la surface proposée est un ellipsoïde rapporté à ses axes, la correspondante sera aussi un ellipsoïde rapporté à ses axes coïncidant en direction avec les premiers. Il en sera de même si la première surface est un liyperboloïde à une ou à deux nappes. Si, par exemple, on part de l'clîipsoïde
la surface correspondante aura
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CHAPrTRE XI. igS
co qui peui représenter un ellipsoïde quelconque, en donnant à in,n, p des valeurs convenables, qui seront tonjours les rapports des axes correspondants des deux surfaces.
Celle même équation représentera tous les ellipsoïdes lioiiiofocaus au premier si l'on prend
ce qui détermine deux des quantités m, //., p en fonction de la troisième, qui reste arbitraire.
Les correspondantes de deux surfaces semblables sont semblables. — Soient, en effet, les deux surfaces semblables
les équations correspondantes seront
Ces surfaces sont donc semblables.
Lignes correspondantes. — Les ligues étant données par les équations de deux surfaces qui les contiennent, on fera, pour chacune de ces équations, ce que nous venon? de faire pour une seule.
Il est important de remarquer que le lieu correspondant d'une ligne droite est une ligne droite, non parallèle en général ; car les deux surfaces sont des plans, et leurs correspondantes en seront par eoiiséquenl aussi.
Si la droite donnée est parallèle à l'un des plans ou des axes coordonnés, il en sera de même de la correspoudaiiie.
14-2. Rapport des longueurs de deux droites correspondantes parallèles à l'un des axes.
Si les points extrêmes de deux droites parallèles à un même axe sont correspondants, les longueurs de ces droites seront dans le rapport constant des coordonnées correspondantes, parallèles à cet axe. Car ces longueurs sont
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196 DE l'équilibre des fotices.
des différences de quantités qui sont dans ce rapport. Mais si la première droiie n'était pas parallèle à un des axes, la seconde ne serait pas parallèle à la première, comme nous l'avons déjà dit, et le rapport de leurs longueurs ne serait pas constant si m, n, p n'étaient pas égaux.
143. Rapport de deux surfaces planes correspondantes, parallèles à l'un des plans coordonnés. — Ces deux surfaces, terminées par des courbes quelconques correspondantes, et parallèles au plan YZ par exemple, peuvent être partagées par des droites correspondantes, parallèles à Taxe des z, et à des distances infiniment petites. Les longneure des cordes correspondantes seront dans le rapport p; les distances de deux cordes consécutives et de leurs correspondantes seront dans le rapport 1; le rapport des éléments correspondants sera donc np ; il en sera donc de même de leurs sommes, et de leurs limites. Les deux aires sont donc dans le rapport np.
lid. Rapport de deux volumes terminés par des surfaces correspondantes . — On décomposera ces volumes par des plans correspondants iniiniment voisins, perpendiculaires à un des axes, celui des x par exemple. Les distances correspondantes de deux plans consécutifs seront dans le rapport m. Les sections des volumes par les plans correspondants seront, comme nous venons de ledémontrer, dans le rapport np. Les éléments de volume compris entre les plans consécutifs sont donc dans le rapport /»///> ; eC, par conséquent, le premier volume est au second dans le rapport mnp.
^i5. Le produit des x de deux points non correspondants considérés respectivement dans les deux systèmes est égal au produit des x des points qui leur sont respectivement correspondants ; et de même pour les y et les z.
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CHAPIIliE XI. 197
SoJeju, eu effet, x,j, s etX', T', Z' les coordonnées des deux premiers poînls m. M'; X, Y,Z celles du point M qui, dans le second système, est le correspondant de m; et x',j', z' celles de ni du premier système, correspondant de M' du second, on aura évidemment a:X' = Xa;', puisque X' = ni a:' et X = mx.
EtTou verrait de même que l'on aura
On peut encore déduire de là uiie autre proposition utile. En effet, si l'on désigne par ]\ R les distances de deux points correspondants, à l'origine; par r'jH', les analogues pour deux autres, on aura
rR' cos rR' — :cX' + j Y' + zZ', r'Rcosr'R = ji'X +/Y + î'Z; d'où
rR'cosrR' = /^'Rcosr'R.
146. La différence des carrés des distances du centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes IiomofocauXf est constante.
Soient les équations de ces deux ellipsoïdes
ils constituent nécessairement deux surfaces correspondantes, comme nous l'avons démontré pour deux ellipsoïdes quelconques, les rapports des coordonnées des points correspondants étant ceux des axes parallèles. Ces ellipsoïdes étant homofocaus, on a
A=~ a'= B'— i' = C"— c\ Cela posé, la différence des carrés des di;
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iqS de l'éqwilibbe des forces
points {x,j, z), (X, Y, Z) au centre sera
A- — a= , B'~ l>' , OU. d'après les condilion? données,
c'est-à-dire simplement A' — a^, ee ^ui prouve la proposition énoncée.
147. Si l'on prend deux points i/uelcortffiies m, m' sur la surface d'un ellipsoïde, et les points correspondants M, M' sur un ellipsoïde liomofocal quelconque , les distances M'm et Mm' seront égales.
Car si l'ondésignepar r,R, /'',R'les distances respectives de ces quatre poiots au centre, on aura, par la dernière proposition,
et, d'après l'avant dernière,
R/-'cosR/-'=:R'rcos Et comme
Mm'':= R' -i- 7-" — 2R/''
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