CHAPITRE XIV. ai

En diminuant la surface en coniact,ou en posant le corps sur les différentes faces également polies, on a encore reconnu que le rapport du frottement à la pression était le même. Ces expériences, répétées un grand nombre de fois, et sur des corps très-variés, oulloujours conduit aux mêmes conséquences.

Ce rapport du frottement à la pression, qui ne varie qu'avec !a nature des substances, est désigné sous le nom de coefficient dufrottcnienl.

Quant à la troisième loi, elle a été démontrée par des expériences dont l'inierprélation exige quelques notions de Dynamique. Ces détails trouveront mieux leur place dans un Cours de machines, el nous nous bornerons à l'énoncé de celle loi.

1S7. jiugle du frottement. — Si un corps soumis à la seule action de la pesanicur repose sur un plan lioriz.ontal par une face plane, et qu'on fasse tourner ce plan autour d'une droite horizontale, le corps couimencera à glisser quand l'inclinaison du plan aura atteint une certaine valeur, qu'il est facile de déterminer.

Soient, en effet, P le poids du corps et a l'inclinaison du plan mobile sur le plan horizontal; la pression du cojps sur le plan, ou la composante de son poids perpendiculairement à ce plan, sera Pcos«; et la composante parallèle aura pour valeur Psina.

Lorsque l'inclinaison variable « aura atteint la valeur particulière fi pour laquelle le corps commence à glisser, la force de frollement sera précisément égale à la composante parallèle au plan incliné; et si l'on désigne parole rapport du frottement à la pression, ou aura

f:^ ■- = tanj;;j.

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2i4 DE l'équiliure des forces.

Ainsi lous les corps de même nature cl également polis, cl génëraleinent tous ceux qui auront îe même coeflldenl de frottement relativement au plan moLile, commenceront à glisser sous un même angle dont la tangente trigononiétrique est égale au coefficient du frottement, et que l'on désigne sous le nom d'angle dufroticment.

Cette expérience peut aussi servir à démontrer les deux premières lois du frottement. En plaçant sur un plan mobile autour d'une horizonlale, un corps dont les différentes faces planes sont également polies, on reconnaît qu'il commence à glisser pour une même inclinaison du plan, quelle que soit l'aire de la face de contact, ei quel que soit le poids dont ou surcharge le corps. On conclut de là que, lorsque la nature et le poli des surfaces ne changent pas, la force de frottement est proportionnelle à la pression, et indépendanio de l'étendue de la face de contact. L'angle sous lequel le glissement commence, détermine le coefficient du frottement, qui en est la tangente trigonométrique,

158. Equilibre d^un corps pressé contre un plan par une force oblique. — Soient V [fig- 19) une force appli-

quée à un corps M, A le point on sa direction rencontre la face de contact, et 6 l'angle qu'elle fait avec la normale AN^ La pression du corps contre le plan sera PcosO; le frottement sera exprimé paryPcosO, yétani le coefficient du frottement; cl la force dans Je plan fixe, qui tend à mettre

CHAPIIEE XIV. 21 â

le corps en mouvement, est égale àPsitiô. Il y aura donc

équilibre si l'on a

Psine</Pcose, ou

tang8</.

Ainsi, l'équilibre aura lieu, quelle que soit la force P, pourvu qu'elle fasse avec la normale un angle qui ne soit pas supérieur ii l'angle du froHement,

Au reste, le cas que nous venons d'examiner ne diffère du précédent qu'en ce que la force P est de direction et de grandeur quelconque, au lieu d'élre le poids môme du corps.

1 59, Équilibre du levier en ajani égard au frottement, — Considérons un levier posé sur un autre corps, de sorte que le point d'appui ne soit pas lié invariablement avec lui ; et supposons-le sollicité par deux forces. Elles peuvent d'abord être remplacées par des forces égales et parallèles appliquées au levier au point d'appui, et, de plus, a deux couples. S'il n'y avait pas de frottement, il faudrait que les couples se détruisissent et que la résultante des deux forces transportées au point d'appui fût normale à la surface résistante. Mais, s'il peut exister un frottement entre les deux corps, il se composera avec les deux forces appliquées comme lui au levier, en son point de contact; il faudra donc encore que les deux couples se détruisent. Mais il ne sera plus nécessaire que les forces transportées au point d'appui donnent une résultante normale à la .surface 5 il suffira que celte résultante fasse avec la normale un angle inférieur ou égal à l'angle du frottement.

160. Équilibre d'un corps qui peut tourner autour d'un axe fixe, — Considérons maintenant un corps solide percé d'un trou cylindrique, au travers duquel passe un cylindre

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2i6 DE l'équilibre des forces,

fixe d'un diamètre à peu près égal. Supposons ce corps sollicité par deux forces situées dans un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, et cherchons les conditions d'éfpiillbre, en ayant égard à la force de frottement. Concevons que tout le système soit réduit à la section par ce plan perpendiculaire, ou, en d'autres termes, que le corps n'ait pas d'épaisseur sensible.

■ Soit C {Jig. 20) le point de contact du cercle fixe ayant son centre en 0, et du cercle mobile appartenant au corps.

II doit y avoir équilibre entre les deux forces données P, Q et la force de frottement F appliquée en C tangentiellemenl au cercle. Il est donc nécessaire et suffisant que les deux forces P, Q aient une résultante passant en C et faisant avec la normale un angle moindre que celui du frottement.

Ainsi, lorsque les forces données auront une résultante qui passera par un point quelconque C du cercle appartenant au corps, et fera avec sa normale un angle égal ou inférieur à celui du frottement, le corps sera en équilibre si l'on fait en sorte que le contact avec le cercle fixe ait lieu au point C.

En considérant le cas extrême où l'équilibre est au moment de se rompre, la résulta^nte R des forces P et Q fait avec la normale au cercle im angle égal à l'angle du frottement ; la pression normale esei'cée sur le cylindre fixe est

la projection de la résultante R sur le rayon, ou ■

elle est donc toujours moindre que la ré force tangentielle appliquée au cylindre fixi

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mullipliant la pression par ]c coefficieot /", et sera, par

conséquent, égale a -■■ ■ Leui- résultante ne sera autre

cliose que R, comme cela devait être évIdemmeiH, puisqui' la résultante R des forces données est détruite par la résistance du cjlindre fixe,

161 . Èquilihre d'un corps sur un plan fixe. — S[ip[iosons un corps pesant posé sur un plan incliné à l'horizon, et sollicité par une force P comprise dans le plan vertical, passant par le centre de gravité du corps, ci la normale au plan incliné. Réduisons tout le système à la section faite par ce plan, et cherchons la condition d'équilibre en tenant compte du frottement.

Soient IV {fig. 21 ) lu verticale menée par le centre de gravité du corps, PI la direction de la force P, Q le poids

du corps, et ce Tiiiclinaison du plan LA sur le plan horizontal AB; il faut exprimer que leur résultante est détruite par la résistance normale du pian AL et par le frottement. Endésignautpar 9 l'angle de ta force P avec !e plan incliné, la pression exercée sur ce dernier sera égale à

Qcos:.^Pnne,

9 étant considéré comme positif au-dessus de la direction AL, et comme négatif au-dessous. Si l'équilibre est au mo-

2l8 DE L ÉQUILIBRE DES FOUCES,

meut de se rompre, la force de frotlement sera égalo à

/(Qcos«-Psm9); mais, en général, elle en sera une fraction quelconque h. La coniposaiite totale clans le sens du plan sera Qsina-Pcos9;

et pour que l'équililire ait lieu, il est nécessaire et suffisant que cette expression, positive ou négative, soit égale à la force de frottement; ce qui s'exprimera par l'équation suivante :

Qsina — PcosO :^ X/(QcoSa — P sine),

h étant compris entre — i et -!- i , et devenant — i on -1- 1 dans le cas où l'équilibre est sur le point de se rompre, soit dans un sens, soit dans l'autre.

On tire de celte équation

Q(sin a— jf/cosa) cos9-^/sine

Si A =; o et 9 := o, on retombe sur l'expression connue

P = Qsin«.

162, Clicrclions la direction dans laquelle il faut faire agir la force P pour obtenir le plus d'avantages possible, en supposant le corps prêt à glisser; et, pour cela, cherclious Ja valeur de 6, qui, en supposant h= i^ donne le minimum de P ou le maximum du dénominateur. Les deux premières dérivées de ce dernier, par rapport à 9, ont pour expressions

— sin9~/cose, et

-cose+/sinO.

En égalant la première à zéro, on trouve tani;9 = — /;

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d'où il suit que la force P doit être dirigée en dessous du plan, et faire avec lui un angle égal h l'angle du frottement. Jja seconde dérivée se réduit alors à

-cos9(i+/=);

elle est donc négative pour oetie valeur de 8 ; d'où il suit ((ue le dénominaieur de P est maximum, et, par suite, P minimum.

On pourrait encore chercher l'inclinaison 6, qui donne la plus petite valeur de P, propre à faire remonter le corps. Il faut alors supposer A = — i , et cherclier le minimum de

maximum de cos9 -h fi^'inS. On en lire

9+Aii

+/cose==:o, langa=/i

ce qui montre que la forée doit j^lre dirigée au-dessus du plan incliné et faire avec lui uy angle é^al à l'angle du frottement, quelle que soit son inclinaison a.

Cet angle, qui est le plus favorable à la traction d'un corps pesant sur un plan quelconque, porte le nom à'angle lie traction ; et, comme nous venons de le prouver, il n'est autre que l'angle du frottement.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la tliéorie du frottement. Nous n'avons voulu que donner une idée de la manière dont les forces de cette espèce modifient les conditions de l'équilibre r ce qui est de la plus bauie importance dans les applications, Nous renvoyons^ pour de plus grands détails, aux Traités spéciaux sur les machines.

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