DU MOUVEMENT GÉNÉRAL D'UN POINT LIBRE
191. Nous allons maintenant nous occuper du mouvement le plus général d'un point libre sollicité par des forces quelconques, qui sont toujours réductibles à une seule, dont la direction et l'intensité peuvent varier arbilraîrenietit avec te temps et la position du point,
La première question que nous allons nous proposer, est de détermiuer le mouvement que suivrait le point, si, à un certain instant, la force continui; qui lui est appliquée cessait subitement d'agir. Nous savons, par la loi d'inertie, qu'il sera rectiligne et uniforme; il ne reste donc à connaitre que sa direction et sa vitesse.
Pour cela, concevons trois axes rectangulaires, de directions constantes, cl dont l'origine ait précisément ce mouvement que nous voulons déterminer. Si la force n'agit plus, le mobile coïncidera constamment avec cette oi'igîne. Mais si elle ne cessait pas son action, c'est-à-dire si le point continuait son mouvement réel, le mouvement qu'il prendrait par rapport aux axes mobiles serait, d'après un principe général admis précédemment, celui même qui aurait lieu par rapport à des axes fixes, si on plaçait le mobile sans vitesse à leur point de rencoutre, el qu'on lui appliquât la force même qui le sollicite dans son mouvement réel. Or l'espace qu'il parcourraitainsi dans un temps infiiiîjnent petit du premier ordre, serait un infiniment petit du second, tandis que celui que parcourrait en même temps l'origine mobile, serait du premier. Si donc, sur la direc-
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a6o DU MOUVEMENT PRODUIT PAU LES FORCES.
tioii rectiligue que suit le point après la suppression de la force, on prend une quaniité infiniment petite du premier ordre, son extrémité sera à une dislance infiniment petite du second ordre, du point de sa trajectoire; d'où il suit d'abord que cette direction rcctilîgne ne peut être que la tangente à celte trajectoire. De plus, l'espace parcouru par le point sur sa trajectoire ne diirérant que d'un infiniment petit du second ordre de celui que parcourt l'origine pendant le même temps, la vitesse dans le mouvement réel, à l'instant considéré, est la même que celle de l'origine. On peut donc énoncer la proposition suivante : Si à tin instant quelconque la force qui produit le mouvement d'un point libre cessait d'agir, ce point se mouvrait alors uniformément suivant la tangente à la trajectoire, avec la ■vitesse qu'il avait à ce même instant,
192. f^aleur ef. direction de la force d'après le inouve~ ment produit. — Considérons une position quelconque M (fig- 2'i) d'un point dont la masse est /«, et dont les coordonnées X. y, z sont des fonctions déterminées du temps t.
Si la force qui agit sur lui cessait à cet instant son action, il se mouvrait sur la langeale MT avec la vitesse v qu'il a en M. Si donc nous supposons trois axes X', ¥', Z' constamment parallèles aux premiers, et dont l'origine A' se meuve sur MT avec la \itesse constante f, le mouvement du point Hi, par rapport à ces axes, sera identique à celui qui aurait lieu par rapport à des axes immobiles, si le
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chapithe ïir. 261
point m éiait placé sans viicsse à l'ongiiie, et solliohé par
La irajccloire relative aux axes mobiles partira de A', passera en m, et sa tangente en A' sera la première direction de la sécante A' m. On peut regarder l'arc inilnimcnt petit de cette courbe comme se confondant avec celte sécante, et la force comme constante de grandeur et de direction, pendant le temps infinimenl petit 6, Cette direction est celle de la droite décrite, et le mouvement sur cette droite sera uniformément accéléré.
Les projections de cette sécante seront les différences des coordonnées de A' et m. Ces dernières seront exprimées par les formules
bile A' s.
ces form
'tant infiniment petits; celles de l'origine moront csprimées par les deux premiers ternies de Lilcs, puisque les composantes de sa vitesse sont -- ; de sorte que les projections de la sécante dérite d'un mouvement uniformément accéléré, et que l'on ppelle la déviation du point, seront
(d':r. \G' fd\r , A0= (d'z \ S'
Elles seront jjroporlionnelles aux cosinus des angles formés par la sécante avec les axes et seront du signe même de ces cosinus, en considérant le sens de A' vers m, c'est-àdire le sens même de la force. On aura la longueur de la
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202 BTJ MODVEMEKT PBODUIT PAR LES FORCES.
sécante en prenant la racine de la somme des carres de ces projections, ei, d'après la théorie dn mouvement itnifor-
mément accéléré, en la divisant par -—, on aurait l'expression de la force accélératrice. Elle contiendra les quantile's infiniment petites a., 6, y; mais, à mesure que 6 diminuera, les suppositions relatives à la direction et à l'intensité de la force prendront un caractère de ilxité de plus en plus grand, et, en pas5ant à la limîle, on auia pour direction do la force, la tangente a la trajectoire relative; au point M son
mtt
îffiau
rapo
ur exprcssu
on
yv
\ dr ,
lésai
ngics
i que
sa direclion fait
avec
les
axes
fU h
fl'z
et les eosin
seront proportionnels à ^V-' "r^' -r-> et respeciivemeni •^ ^ di' dû de "^
de mêmes signes. Ces cosinus seront donc représentés en
grandeur et en signes par
fo de ^ dt' fù dt''
et les composantes de la force seront exprimées en grandeur et en signe par
Telle est l'expression des composantes de la force qui sollicite l'unité de masse dans le mouvement d'un point libre, dont X,yy z sont les coordonnées fonctions du temps. Pour que le mouvement, quel qu'il soil, reste le même quand le mobile aura une masse égale à m, il faudra multiplier la force, et, par suite, ses composantes par m. Si donc on désigne par X, T, Z les composantes de la force appliquée au point dont la masse est m, et qu'on nomme la
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force motrice, les coordonnées x, y, s de ce point seront des fonctions du lemps, telles que Ton ail à chaque inslanl
Ce sont ies équations difl'érenticHes du mouvement d'un point libre.
193. Usage des équations du mouvement d'un point libre. — Ces équatioDs donnent le moyen de ramener au calcul toutes les qiieslions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où l'on donnerait x,y, z en fonction de î; ou, plus généralement, trois équations finies entre x, j, z, t. En les différenliant une fois par rapport à (, on connaîtrait les composantes de la vitesse du mobile. Une seconde différentiation ierait connaître les composantes de la force accélératrice, et , par conséquent, cette force elle-même en grandeur et en direction. Enfin l'élimination de /, entre les trois équations données, ferait connaître les deux équations de ia trajectoire.
Mais les données de la question sont, en général, moins simples. Elles devront lonjours fournir trois conditions, puisqu'il y a quatre variables x, j, z, i, dont une seule est indépendante : mais si l'on pouvait reconnaître à priori (jue la trajectoire est plane, on prendrait deux axes de coordonnées dans ce plan, et il n'y aurait plus que trois variables, savoir : le temps / et les deux coordonnées, quelles qn'eiles soient, du mobile.
Le cas le plus difficile est généralement celui où la force est donnée. On connaît alors X, Y, Z en fonction de x, j, z, t, et les équations du mouvemeiil sont de la forme
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Si l'on peut intégrer le sysléme de ces iroîs é{juatioiis di (Té reiiti elles du second ordre, on parviendra à [rois éqiia,lions entre X^j, z^ t et six constantes arbilraii'es.
Ces constantes se détermineront d'après les circonstances initiales du mouvement.
On observera, pour cela, qsie le mouvement du point n'est pas déterminé par la suulo connaissance de la force qui agilsur lui. Il faut encore connaître la position où il se trouve à un certain instant, celui par exemple à partir duquel on commence à compter le temps; et, de plus, la grandeur et la direction de sa vitesse à cet instant. C'est en cela que consiste ce qu'on appelle X'état inilial du poùif; et l'on voit qu'il renferme sis données nécessaires et suffisantes, les trois coordonnées du point et les trois composantes de sa vitesse.
Or il est facile, au moyen de ces données, de déleroiiner les six constantes introduites par l'intégration. Eu eilet, les équations intégrales, ainsi que toutes celles qu'on en déduirait par la diilërenliation, ayant lieu pour toute valeur de (, seront satisfaites si l'on y fait ^^^o. Pour cette valeur de f, on
I 1,1 1 1 dx dy dz
connaît, par hypothèse, es va eurs de x, r, z, -r' -r-' -r- ' ^ ■' ' ' ^■" ^ dl de dt
En les substituant dans les équations inlégralrs et leurs dérivées premières, dans lesquelles on aura fait t ■■:= o, ou aura six équations qui ne renfermeront d'inconnues que les six constantes, lesquelles, par conséquent, seront déterminées.
Ayant ainsi trois équations enrre x,j, s, f, on irntre dans le premier cas que nous avons examiné.
COMPOSANTES DE LA FOUCE ACi:i-:Lt';T\ATElCE SllVAKT
■m Utile de décomposer la force suivant la >rma!c à la trajectoire. Désignons par T
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et N CCS deux composantes rapporlées à i'unilé de masse. La première s'obtiendra en projetant sur la tangente les trois composaiiles parallèles aux axes, ce qui donnera rf-,>- dx d'y dy d't di dt' ds di' ds 'lit' ds'
Or, en dîflerentiant l'équation
d''x de d'y dy d-z dz d^s d.< ~dë 1t 'dF' It ^ lù' 'dt ~ 'W Jl'
Connaissant la rcsultanlc et une des deux composantes, on aura pour l'autre
On on a trouvé dans la Géométrie que le rayon de courbure R d'une courbe quelconque a pour expression, (jueile que soit la variaLIc choisie comme indépenilanlc,
di'
Il ne reste plus qu'à reconnaître suivant laquelle des normales à la courbe cette composante est dirigée.
Or elle est dans le plan qui contient la composante tan-
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266 DU MOUVEMEBT PRODUIT P*7l 1,ËS FORCES.
gentlellc et la résultante; et les cosinus des angles que ces directions font avec les axes sont proportionnels respectivement à
(^j;, dj, lii et (/'a-, d'y, d'z.
Soit A X ■+- Bj-4-Cz =^ ! l'équation d'un plan quelconque; pour qu'il soit parallèle à ces deux directions il faudra que l'on ait
Ad.r-i' Bdy -+- Cdz =o,
et, en exprimant qu'il passe au point donné, on aura le plan qui renferme les trois forces. Or ces équations sont précisément celles qui déterminent le plan oseulateur d'une courbe quelconque. D'où il résa]le que, dans le mo/wenient d'un point libre, la force est toujours située dans le plan oseulateur de la trajectoire , ainsi que ses composantes , langenlielle et normale.
193. On peut arriver très-simplement, et sans calcul, aux résultats précédents.
En eifet, la ligne A'm [fig. 22, p. 260} étant décrite pendant le temps infiniment petit S, par l'action de la force
accélératrice 9, la valeur de celle-ci. sera égale à ~— — »
et, si l'on abaisse mP perpendiculaire sur la tangente, la force 'ij el ses composantes seront entre elles comme les trois côtés du triangle A'wP; elles sont dirigées l'une de P vers m, l'antre de A' vers P, ei, par conséquent,
aA'P iVm
~ V ' ' "^ fl'
en prenant les limites de ces rapports. Or on a
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Maintenant A' P est égal à MP — MA', et MP ne diffère de l'arc Mm que d'un infiniment petit du troisième ordre, (jui peut être néglige deïant A'P qui est du second. Or l'arc de la trajectoire étant considéré comme fonction du temps, on aura
dl \iiO j -î.
et, comme MA' =; -- 9, il en résultera
expression qui sera positive ou négative en même temps
que -TT) c'est-à-dire suivant que la vitesse — sera crois- ^ dc^ ^ dt
santé ou décroissante. Multipliant par j- et passant à la
limite on trouvera
Quant à la direction de la force, elle est la limite de la dircctiou de mA', et, par conséquent, est comprise dans le plan limite du plan MA'hi, qui est, comme on le sait, le plan osculateur de la courbe au point I\I. La composante normale y est donc elle-même, puisque la résullanle et la composante tangentielle s'y trouvent. Elle est dirigée du point M vers le centre de courbure, comme étant la limite delà direction P/K, et c'est pour cela qu'on lui donne quelquefois le nom As force cenlripète. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
Si la masse du point, au lieu d'être l'unité, était égale
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268 DD MOUVEMENT PRODUIT PAU LES FOllCES.
, , . ,!,!■' <l'.S di,
a III- les deux composantes seraient ■ — et m —r~ ou m — -
196. Force fVinerlie. Ses cûniposantes. — Nous avons vu que toutes les fois qu'une action s'exerçait sur un corps, celui-ci exerçait toujours en sens contraire une action égale, que l'on nomme réaction ou force d'ineriie. Si l'action s'exerce par la pression ou la traction d un autre corps, ou d'un appareil matériel quelconque, c'est sur les points maiéricls en contact que s'exerce la réaction. Si elle provient d'un corps à distance, c'est toujours sur ce corps que la réaction s'opère; et elle est encore égale et directement opposée à l'action qui a lieu sur le premier.
Cela posé, considérons un point libre, ayant une masse m et décrivant une trajectoire quelconque sous l'action d'une certaine force, que nous nous représenterons comme produite par la traction d'un fil ou par la pression d'un autre corps; la force d'inertie sera appliquée à ce fil ou ce corps extérieur, au point même de l'espace où se trouve le mobile, ei pourra être décomposée soit en trois forces parallèles
, , . rf'j; ti'r d'z
aux axes, égales a — »i-~-ï — nt—-~, — m—~: soit en
° di' dt' iti'
deux forces, l'une taiigentielle, l'autre normale à la trajectoire, et respectivement opposées aux composantes de la force appliquée au mobile : la première, estimée par rapport à la direction du mouvement, sera — tn — , la seconde ^ ' de'
aura pour valeur —-> sera située dans le plan osculateur de la trajectoire, et dirigée du côlc opposé au centre de courbure; de sorte que si l'on concevait qu'elle agît sur un point sans vitesse pendant un temps fini, ce point se mouvrait suivant la normale en s'éloignant de ce centre. C'est pour cette raison qu'on lui a donné le nom de force cennifage.
On fait quelquefois de faux raisonnements relativement
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