CHAPITRE III. — RAPPEL DES PROPRIETES DE L OBJET. I

n'en peuvent pas être, et qui cependant rappellent lewr signification par leur /o/-me. Tels sont les premiers chiffres chinois — , =, ^, et les premiers chiffres romains I, II, III. Tels étaient aussi, dans leur tracé primitif, les neuf chiffres arabes, puisqu'ils consistaient, paraît-il, en lignes brisées présentant respectivement nn, deux, trois, . . . angles ou côtés.

Les signes d'inégalité >>, -< indiquent d'eux-mêmes qu'on passe d'une quantité plus grande à nne plus petite, et réciproquement. Les signes de l'égalité =, de l'identité ^, de l'équipollence =i, expriment évidemment qne l'on passe d'une quantité à nne quantité égale. Et, pour parler des signes de coordination, une barre verticale ne marque-t-elle pas, naturellement, la séparation; une parenthèse, le groupement des éléments c[u'elle enserre; une accolade, la correspondance entre un objet et un groupe d'olqets; une flèche droite, une direction ; une flèche courbe, un sens de rotation?

440. Certains éléments modificateurs rappellent aussi, par leur J'ormc^ la signification des groupes où ils figurent. Grâce à Taccent

circonflexe, on sait que AOB est un angle; grâce au trait courbe

ou droit qui les surmonte, on sait que les signes AB et AB représentent respectivement l'arc qui va de A en B et la corde de cet arc : la simple noiation AB ne serait point suffisante.

Cet emploi du niodificateur-iniage est donc excellent. Malheureusement, il ne peut guère s'étendre. Supposons que l'on veuille, en y ayant recours, distinguer, dans un cercle, le triangle rectiligne AOB du secteur AOB qui lui correspond; il faudrait marquer, au-dessus du grou|)e AOB, dans le premier cas, un petit triangle; dans le second, un petit secteur : ce serait assez complicpié.

(Quelques auteurs représentent le triangle par AOB, ce qui me semide mauvais, et le secteur par AOMB, ce qui exige une explication pour la lettre M. Je proposerai 0,AB pour le triangle, et 0,AB jiour le secteur.

Signe d'un objet simple.

441. J'appelle objet simple, signe simple, tout objet et tout signe qui ne nous offre point différentes parties, séparées les unes

des autres. J'appelle, en parliciilier, signe graphique simple ton signe graphique formé d' un seul trait. Il est évident que la simplicité de l'objet doit être rappelée par la simplicité du signe. Tout objet simple, ou regardé comme tel, doit être représenté par un sigue simple.

442. Les signes de relation devraient être formés chacun d'un seul trait. Il en est aiusi des signes >> et «< ; mais les signes =, :^, = , ont le tort de comprendre chacun deux ou trois traits séparés.

Les lettres de l'alphabet latin sont des signes simples car, sauf 1'/ et le y, elles sont toutes formées d'un trait unique : chacune d'elles pourra donc èti'e choisie pour le signe d'un objet simple. Parmi les majuscules grecques, il en est deux qu'on ne j)ouriait choisir : ce sont les lettres 0 et S qui se composent, la première de deux, la seconde de trois éléments séparés.

Les signes du zodiaque devraient tous aussi être simples; il en est quatre qui se composent chacun de deux parties séparées : l'écrevisse, la balance, le verseau et les poissons.

443. La caractéristique d'une fonction est un objet sinq)le ; son signe doit donc être simple. Voilà pourquoi nous avons conseillé (227) de lier ensemble toutes les lettres mnémoniques dont nous le composons. Le centre de gravité, le plus grar)d commun diviseur, le plus petit commun multiple, malgré la complexité de leurs noms, sont des objets simples; il faudrait donc, quand on les représente jiar cdg, pgcd, ppcm, lier entre elles les trois ou quatre lettres dont ces groupes sont composés; il faudrait remplacer chacun d'eux ])ar un véritable monogramme.

Signe d'un objet complexe.

444. Tout objet comprenant plusieurs parties distinctes est pour nous un objet complexe. Tout signe comprenanl /?/«.s7Vw/\s parties séparées est de même un signe complexe. Il faut évidemment que tout objet com[)lexe, ou regardé comme tel, soil représenté par un signe complexe.

iio. Le produit, seulement indiqué, de deux ou plusieurs fac-

ClUl-ITRE III. — UAPI'KL DES l'ROPRIETKS DK LOBJKT. 17g

leurs, est un objet complexe: il ne faut donc point, dans l'écriture, lier entre elles les lettres qui représentent ces facteurs. Un nombre, écrit en clntlres, est aussi un objet complexe; ses chiffres doivent donc être séparés les uns des autres. D'une manière générale. lorsqu'on écrit une expression, une équation, une relation mathématique quelconque, les signes simples qu'on y emploie ne doivent jamais être liés entre eux.

i46. L'objet complexe et. par consécpient, son signe peuvent, d'après le nombre de leurs éléments, être dits doubles, triples, quadruples, .... Il est clair que, si l'objet est double, triple, quadruple, . . ., son signe doit 1 être aussi. En d autres termes, il faut que le nombre des éléments du signe soit le même cjue celui des éléments de l'objet. C'est justement ce qui a lieu, dans notre écriture matliématique, pour les produits de facteurs littéraux; pour les nombres écrits en cliiffres ; etc., etc.

Le terme général d'une table à double entrée sera donc représenté par un signe double, (/?, q) par exemple; celui d une table à triple entrée, par un signe triple (/>, q. ;), .... Il en sera de même pour les variantes à deux, trois, quatre, . . . indices.

Rien de plus commun que l'emploi des signes multiples. Nous pouvons citer comme tels : les lettres accentuées ou affectées d'indices, «', rt'', ..., 6,, b-i. ...; les notations usuelles dx., ..., Xr. ... des différentielles et des difYérences; celles des fonctions f{x),f[x,y), ...; etc., etc.

Structure .

ï^l . Non seulement les éléments du signe complexe doivent être en même nombre que ceux de l'objet, mais ils leur doivent correspondre chacun à chacun; ils en doivent rappeler les j^ropriétés et les positions relatives. Pour employer un mot qui se comprendra de lui-même, nous dirons que, dans l'écriture des Mathématiques comme dans celle de la Chimie, le signe doit avoir la même structure que son objet .

i48. Lorsqu'on se sert de la numération décimale, tout nombre

l8o DEUXIEME PARTIE. — CHOIX.

est décomposé en groupes d'unités des divers ordres, dont aucun n'en contient plus de neuf. On y considère même, pour la régularité, des groupes fictifs qui n'en contiennent aucune. A ces différents groupes, soit réels, soit fictifs, correspondent évidemment, chacun à chacun, les différents chiffres du nombre écrit; ils leur correspondent dans le même ordre : objet et signe ont même structure.

419. L'écart entre deux éléments du signe doit rappeler, par sa grandeur ou sa petitesse, l'écart existant entre les éléments correspondants de l'objet. Voilà pourquoi nous avons recommandé (154) de rapprocher beaucoup l'un de l'autre : dans un monôme tel que oa, le coefficient de la lettre qui le suit; dans le produit ab de deux facteurs littéraux, ces deux facteuis eux-mêmes; dans les notations sin.r, log.r, la caracléristicpie de la variable.

-4oO. Comme nous le verrons dans notre troisième Partie, c'est surtout dans l'écriture des expressions algébriques, des équations, des relations de tout genre, qu'il faudra se préoccuper des questions de structure. Lorsque la struct^ire du signe est parfaite, on en comprend, on en pénètre immédiatement la composition; l'écriture mathématique devient infiniment claire et. pour ainsi parler, limpide, transparente.

Symétrie et dis symétrie.

AdI. La notion de structure suppose complexes et l'objet et le signe, ^lais il en est deux autres, cpiil importe de rappeler, et qui se rapportent, non seulement aux signes et objets complexes, mais encore aux signes et objets simples. Ce sont les notions âc symrfrie et de dissymétrie.

452. La symétrie ou dissymétrie qui existe, soit dans une relation, soit dans une opération, doit toujours être rappelée par le signe.

La svmélrie des relations est rappelée, comme il convient, par les signes d'égalité, d'identité, d <''qui[)ollence, qui sont tous svmé- Iriques de droite à gauche. La dissymétrie est rappelée de même

CHAPITRi: m. — RAPPEL DIîS PROPRIETES DE L OBJET. t8l

par les signes >> et -<, c'est-à-diie par les signes simples d'inégalité.

Comme nous l'avons fait lemaïqiier déjà, la somme elle [n-odiiit de deux nombres dépendent symétriquement de ces nombres. Le signe de l'addition et celui de la multiplication doivent donc présenter, à droite et à gauclie, des parties symétriques : c'est ce qui a lieu : pour le signe -+- ; pour le signe x. et pour le point qui

parfois le remplace. Le signe — de la soustraction et le signe — '- —

de l'exponentation, qui sont symétriques, devraient ne pas l'être, puisque leurs opérations ne le sont pas. Quant à la division de a par b, qui est une opération dissymétrique, elle s'indique tantôt

par j, tantôt par a : 6, et il est évident que la seconde de ces notations a le tort d'être symétrique.

453. Ce que nous venons de dire touchant les opérations et relations symétriques ou dissymétriques s'étend, d'ailleurs, à tous les objets et à tous les signes. C'est une règle générale : tout objet symétrique doit être représenté par un si^ne symétrique; tout objet dissymétrique, par un signe dissymétrique. — Cette règle générale, comme celle de la structure, trouvera surtout son application dans notre troisième Partie. jiGur l'écriture des expressions, équations, relations.

Objet regardé comme simple, comme complexe.

Ad^. On a pu le remarquer : nous avons parlé précédemment à'objet simple, ou regardé comme simple (4-41); d'objet complexe, ou regardé comme complexe. Nous pouvons, en effel, regarder un même objet tantôt comme simple, tantôt comme complexe, suixant les circonstances où nous l'envisageons.

^oo. \]\\ nombre considéré comme une collection d'unités simples est un ensemble homogène, analogue à un tas de sable; c'est un objet simple. Si nous le supposons formé de groupes d'unités des divers ordres, c'est un objet complexe. Nous disons, dans le premier cas, le nombre n\ dans le second, par exemple, le nombre 3^25.

iSa DEUKIÈMK PARTIE. — CHOIX.

Si un seul angle a son sommet en A, on pourra l'appeler l'angle A. Si plusieurs angles ont leur sommet en ce même point, et qu'on n<^ puisse mettre de lettre ou de cliiflre en leur intérieur, on désignera chacun d'eux par un groupe de trois lettres, où A occupera la place du milieu. L'angle, qui était désigné d'abord par un signe simple, le sera maintenant par un signe triple.

Considérons un segment de droite. Si nous ne nous occupons que de sa longueur, nous le désignons par / : c'est un signe simple. Si nous voulons indi(juer les deux points qui le comprennent, nous les désignons par A et B et nous représentons le segment par AB : c'est un signe doul)le. Si nous donnons un sens à ce segment, nous pouvons, pour l'indiquer, placer au-dessus de AB une llèclie horizontale, ayant sa poinle à droite ou à gauche : c'est un signe tri|)le. Mais il est alors infiniment plus commode de ne marquer aucune flèche, et d'indiquer le sens par l'ordre des deux lettres; de représenter par AB le segment pris de A en B, et par BA le même segment ])ris en sens contraire. D'après les conventions consacrées, la première des deux lettres désigne l'origine du segment; la seconde en désigne l'extrémité.

456. Chasles a eu, selon nous, une idée de génie lorsqu'il a imaginé d'indiquer ainsi le sens d'un segment par Tordre des lettres. Celte notation a les plus grands avantages. C'est giâce à elle, quand on considère les points A, B, C, D, ..., L, prisa volonté sur une droite, (pie l'on peut écrire, pour ainsi dire mécaniquement, la belle

identité

AB -^ BG + CD -T- . . . -^ LA = o.

Il est, d'ailleurs, évident que l'on peut étendre celle considération de l'ordre des lettres à la notation des angles, et écrire AOB

et BOA pour un même angle, |)ris d'al)ord en un sens, ensuite dans le sens opposé.

4o7. Les signes multi|>les, en j)articulier les signes doubles, sont souvent, pour la désignalion des objets, plus av;uitai;cux <|ue ne le sont les signes simples. Sup|)osons j)lusicurs varial)les .i',y, ^, .. ., à chacune desquelles on donne un accroissement. On peut désigner ces accroissements respectifs par les signes simples h, /.-, /, ..., ou