CHAPITRE XII. — CAS DIFFICILES

que, à Taide de ces mêmes notations, on en pourrait établir le tableau complet.

Les polyèdres réguliers.

71-4. Les polyèdres nous oflVent au moins trois sortes d'éléments : des sommets, des arêtes et des faces. On pourrait représenter chacun de ces élém(;nts par une lettre unique, prise telle quelle ou affectée soit d'indices, soit d'accents. Mais, de quelque manière qu'on les choisisse, les signes simples constitués par ces lettres ne sauraient exprimer les positions des éléments d'une sorte par rapport aux positions de ceux des deux autres. 11 vaut beaucoup mieux n'employer les signes simples que pour les éléments d'une ou de deux sortes, et représenter les éléments restants par des signes multiples formés de ces signes simples. C'est ce que nous allons faire pour \e?, polyèdres réguliers convexes; c'est ce qu'on pourrait l'aire aussi pour les polvèdres réguliers de Poinsot ('), et pour les polyèdres semi-réguliers de Catalan.

715. Les poKèdres réguliers convexes sont au nomljre de cinq : le tétraèdre, i hexaèdre ou cube, Voctaèdre, le dodécaèdre et Vicosaèdre. Ils peuvent tous être inscrits et circonscrits à la sphère. Si Tun quelconque est inscrit de cette façon et que, par tous ses sommets, on mène des plans tangents à cette surface, on obtient un polyèdre régulier convexe. Les polyèdres de cette espèce se correspondent donc deux à deux : le tétraèdre se correspond à lui-même; Voctaèdre correspond au cube; et Vicosaèdre au dodécaèdre.

716. Dans le tétraèdre, les sommets et les faces sont en même nombre, 4? 6t sont opposés chacun à chacune. Les 4 sommets pourront être représentés par les majuscules A, B, C, D, et les 4 faces opposées par les minuscules «, b., c, d : au total 8 signes simples. Quant aux 6 arêtes, chacune pourra être représentée par un signe double formé : soit des deux majuscules marquées aux deux sommets qu'elle joint; soit des deux minuscules répondant

(■) Né en 1777, mort en iSag.

aux deux faces dont elle est l'intersection. — 11 est, d'ailleurs, évident qu'on eut pu désigner les sommets par A,, Ao, A3, A4 et les faces opposées par «7, , a^, a^-, «/,.

717. r^e cube nous offre 6 faces, 8 sommets, \i arêtes. Nous en représenterons les sommets par des signes simples (]ui seront des lettres, et les autres éléments par des signes multiples composés de ces lettres. Chaque arête sera donc représentée par 2 des lettres précédentes, et chaque face par 4 de ces mêmes lettres.

Mais comment placer les 8 lettres assignées aux 8 sommets du cube? Si l'on ne veut introduire aucune dissymétrie, le problème est difficile. Je le résous en remarquant que ces 8 sommets se partagent en '2 groupes de 4, et que les 4 sommets de chaque groupe sont ceux d'un tétraèdre régulier. J'appelle alors A,, Ao, A3, A^ les sommets du |)remier groupe; B,, Bo, B3, B/, les sommets du second; les lettres de même indice, sur le cube, se rapportant toujours à 2 sommets opposés.

Puisque Voctaèdre régulier corres|)ond au cube, il nous offre 8 faces, 6 sommets, 12 arêtes; et. ces 8 faces se partagent aussi en 2 groupes, les 4 faces de chaque groupe appartenant à un même tétraèdre rég^uiier. On nommera a,, «2, «3, «4 les faces du premier groupe; et ft,, b^-, 63, b^ les faces du second. Les autres éléments se désigneront par des signes multiples, tous composés des minuscules qu'on vient d'écrire.

718. Le dodécaèdre régulier est, on le sait, le dodécaèdre pentagonal. 11 nous ofire 12 faces, 20 sommets, 3o arêtes. Nous en désignerons chaque sommet par une lettre; puis chaque arête par 2 de ces lettres, et chaque face par 5. Toute la difficulté consistera à bien choisir et placer les 20 lettres des sommets.

Comme dans le cube, ces sommets se partagent en groupe de 4, les 4 sommets d'un même groupe appartenant à un même tétraèdre régulier. Ces groupes seront au nombre de 5. Nous en désignerons les sommets par les cin(| groupes de lettres

Al Ao A3 Ai, B, Bo B3 Bi,

El Eo E3 E4.

CHAl'ITKK XII. — CAS DIFFICILES. ■IÇf'i

Les Dotations de V icosaèdre rc'^uUcr s'en déduironl iminédiatenienl. Ce seront celle fois les 20 faces qui se partageront en 5 groupes de 4» 'es 4 faces de chaque groupe étant toujours celles d'un même tétraèdre régulier. On désignera les faces du premier tétraèdre par «,, «2? ^3? ^1 5 celles du deuxième par 6,, 60, />3, h,,\ et ainsi de suite. Les autres éléments recevront des signes multiples.

719. Les procédés qui précèdent reposent tous sur le groupement, 4 pciy 4> tles sommets dans le cube et le dodécaèdre, des faces dans Voclaèdre et V icosaèdre. Ce groupement, que je n'ai vu nulle part, est peut-être nouveau. Il domine toute la cjuestion. Pour qu'on le puisse mettre à profit, il suffit de savoir comment, dans le cube et le dodécaèdre, on peut déduire, d'un sommet donné quelconque, les 3 autres sommets du tétraèdre régulier dont il fait partie.

Dans le cube, un sommet donné quelconque appartient à 3 faces; ces faces sont des cariés; dans chacun d'eux, il j a un sommet opposé au sommet donné : ce sont ces 3 sommets qu'il lui faut associer.

Dans le dodécaèdre, considérons un sommet quelconque A et suivons l'une AK des arêtes qui en partent. Son extrémité K appartient à un pentagone dont A ne fait point partie; et, dans ce pentagone, le côté opposé à K nous présente deux sommets, P à droite, Q à gauche. Puisqu'il y a 3 arêtes partant de A, il existe trois couples de points tels que P et Q. Si nous associons à A les trois points de droite, nous obtenons les 4 sommets d'un premier tétraèdre régulier; si nous lui associons les trois points de gauche, nous obtenons les 4 sommets d'un second tétraèdre. Le problème est ainsi résolu ; et il admet deux solutions.

Pour ce qui est du partage en groupes de 4? ^oit clés 8 faces de l'octaèdre, soit des 20 faces de l'icosaèdre, il se déduit immédiatement du partage, en groupes de 4, des sommets, soit du cube, soit du dodécaèdre.

D'ailleurs, dans nos notations des sommets et des faces de nos poljèdres, si l'on supprimait tous les indices qui affectent les lettres, on trouverait finalement, sur le dodécaèdre, par exemple, 4 lettres A,

4 lelLres B,..., et ces lettres seraient toutes placées de la même manière sur la figure, j joueraient toutes le même rôle : en particulier, les 5 lettres placées autour d'une face seraient toutes différentes; elles y constitueraient l'une des permutations circulaires des 5 lettres considérées.

USAGE

720. Les signes des objets une fois choisis, il convient de les employer de la façon la plus avantageuse. C'est à enseigner la manière de s'en servir très bien qu'est consacrée entièrement cette troisième et dernière Partie. Nous nous j occupons d'abord de l'assemblage des signes choisis : écriture des expressions, expressions mal écrites, structure des expressions, expressions abrégées ou condensées, notations particulières; — ensuite de la comparaison des expressions entre elles : relations, relations continues, systèmes d'équations; — enliti de la manière dont il convient de s'inspirer des notations pour bien utiliser le mécanisme algébrique : notations initiales des problèmes, mise en équations, direction des calculs, vérifications.

Quelques paragraphes de cette troisième Partie rappellent encore des paragraphes de la première. Comme dans notre deuxième Partie, nous avons préféré des résumés très courts à de simples renvois.