CHAPITRE XII. — CAS DIFFICILES

le signe quadruple NEjN, qu'on prononce Nord-Esl un quart Nord. Et ainsi de suite.

710. Ainsi les 82 points, qui formaient en réalité un ensemble homogène, c'est-à-dire une seule sorte d'objets, ont été, pour le choix de leurs signes, partagés en quatre soi tes, mais l'ont été d'une façon très régulière.

Les 4 points de la première sorte ont seuls été représentés par des signes simples; les 4 de la deuxième Pont été par des signes doubles; les 8 de la troisième par des signes triples; les 16 de la (juatrième par des signes quadruples. Le mode de formation des signes doubles et des signes triples est le même : il pourrait évidemment s'étendre. Celui des signes quadruples en diffère : c'est un défaut. La rose des vents ne nous en présente pas moins un bel exemple de notations.

Les vingt- sept droites.

711. Sur une surface algébrique du troisième dégrève trouvent, en général, 2- droites. Ces droites sont analogues entre elles : ce sont 2- objets d'une même sorte. Elles possèdent, les unes par rapport aux autres, des propriétés remaïquables, d'après lesquelles les géomètres les ont groupées de différentes façons : trièdre de Steinei", double-six de Sclilafli (').

Chacune de ces 2'^ droites en rencontre 10 autres. Evidemment, il n'y en a jamais plus de 3 dans un même plan; mais il existe 45 plans qui en contiennent chacun 3, de façon qu'elles forment 45 triangles.

712. Dans un svstème de notations employé par M. Caron (-), on considère d'abord 12 droites,

«I' «îi ^3j ^4) ^5) ^61 6,, h.,, 63, 64, 65, ^6,

qui sont (\\\.es fonda m^en taie s et qui forment deux groupes. Chaque

(')Steiner, 1796-1863; Sclilafli, 1814-1895.

(-) Bulletin de la Société mathématique de France., in-S", Paris, 1880, t. VIII, p. 73.

fondamentale oe rencontre aucune droite de son groupe, mais rencontre toutes les droites de l'autre, à l'exception de celle qui présente le même indice.

Prenons maintenant deux fondamentales quelconques, «„, 6^, qui se rencontrent; elles déterminent un plan; les deux fondamentales correspondantes «^, bp en déterminent un antre; et ces deux plans, par leur intersection, nous donnent une droite, dite secondaire, qui est située sur la surface et que nous désignons par (pç). En répétant cette opération de toutes les manières possibles, nous obtenons le.> 1 5 secondaires

lesquelles, associées aux douze fondamentales, complèlenl le nombre de vingt-sept. 11 est facile de voir qu'une fondamentale et une secondaire se rencontrent, lorsqu'elles ont un indice commun; et que deux secondaires se rencontrent, lorsque leurs qnalre indices sont différents.

713. Ces notations sont évidemment fondées sur la considération du double-six. Elles se composent de signes de deux sortes : 12 signes simples répondant aux \'>. droites (bndamenlales, et i5 signes composés, qui se déduisent des premiers et répondent aux i5 droites secondaires. Elles nous permettent d'obtenir immédiatement les 10 droites que rencontre l'une quelconque des l'j droites considérées.

Touie fondamentale d'un groupe rencontre les 5 fondamentales de l'autre dont les indices diffèrent du sien, et les 5 secondaires (|ui présentent son indice : la fondamentale «3, par exemple, rencontre les 5 fondamentales />,, Z>2, ^4, b^, ba, et les 5 secondaires

Toute secondaire rencontre les 4 fondamentales qui présentent l'un quelconque de ses indices, et les 6 secondaires qui n'en présentent aucun : la secondaire (sS), par exemple, rencontre les 4 fondamentales «2» ^5? ^25 ^s? et les 6 secondaires

(i3), (i4), (16), (34), (36), (46). Quant aux 45 triangles que forment nos 27 droites, il est évident