CHAPITRE II. — EXPRESSIONS MAL ÉCRITES. 3ll

soit soumises au signe / , coiume dans / sin j:" cos.r dx^ c'est toujours

le facteur dx qui doit terminer re\|)ression, qui en doit marquer la fin.

Ainsi, nous le voyons, même dans un produit qui ne dépend point de l'ordre de ses facteurs, cet ordre, pour la bonne écriture, ne saurait être indifférent.

752. 11 existe, d'ailleurs, des expressions où le changement d'ordre des éléments conduit à des fautes graves. C'est ce qui arii-

veiait si l'on remijlycait a — h par b — rt; et de même -r par — • Je ' ' ' ' b ^ a

rencontre, dans un Traité de Géométrie analytique, l'équation

ab

où la lettre x désigne la quatrième proportionnelle aux trois longueurs rt, 6, c : c'est une faute grave, tenant à I interversion des lettres c et a, puisque cette quatrième proportionnelle est. en réalité,

I , bc

eeale a

Éléments omis.

7o3. Uomission, la suppression d'un élément est une faute qui peut avoir les plus fâcheuses conséquences. Dans chacune des expressions

doit-on voir une somme ou un produit? D'après les conventions que nous avons faites (io), la première^ dont la barre est en biais, équivaut à ^ -r ^; la seconde, dont la barre est horizontale, étjuivaut

à - X ^- Mais, pour ceux qui ignorent ces conventions, qu'est-ce (|ue ces expressions signifient au juste?

754. L'omission des signes de séparation est également grave. Supprimez la virgule dans f{x, y), le lecteur croit avoir affaire, non plus à une fonction de deu\ variables, mais à une fonction du

3l2 THOISIÈME PARTIE. — USAliE.

seul produit .ry. Supprimez le poinl-ei-virgule ou la barre droile dans les expressions

^[z\y{T — ai\ llix — a-y), ..., !;(.r-«,;.)],

vous faites disparaître la distinclion entre les deux groupes de quantités ou fonctions. Il importe, quand une expression dépend de deux groupes de quantités, que ces deux groupes soient nettement séparés.

75o. va oubli des signes de groupement n'est pas moins dangereux. 11 produit des erreurs graves et malheureusement fréquentes. Je trouve, dans une publication considérable, l'équalion

P d.T -h Q dy = o.

Ne lallait-il point que le binôme qui suit le signe / fût |)lacé

entre parenthèses?

Dans ses Leçons de Mathématiques ('), écrivant le nombre des

combinaisons simples de m oljjets 3 à S, Lacaille (-) le met sous la

forme

m .nt — I . /« — 1

oubliant de placer entre parenthèses chacun des (acteurs m — i, m — 2.

Bien plus, dans un Traité récent sur le calcul des probabilités, l'auteur, ayant à représenter le produit des /i — k premiers nombres, l'écrit n — kl Ne fallail-il pas que le signe de la faclorieile portât sur le binôme n — A" tout entier el, par conséquent, que ce binôme fût placé entre parenthèses?

Au reste, nous Talions voir, les signes de gioupenient, parenthèses, ci-ochets, etc., soni, pour la bonne écriture mathématique, d'une importance capitale.

(') Leçons de Alatliématiques, iii-8", Paris, 1784, ]>• i"')- (-j Né en 1718, mort en 1762.

CHAPITBK II

EXPRESSIONS MAL ECRITES

Signes de groupement.

756. Il ne sera point inutile de rappeler iei les conseils que nous avons donnés sur la façon de bien employer les signes de groupement proprement dits : traits droits, parenthèses, crochets.

757. Il importe que le trait droit soit bien délimité, que Ion voie bien s'il porte sur telle lettre, tel chiftre. C'est ce qui a lieu dans la doul)lf inégalité

qu'on peut regarder comme bien éciite. L'expression

a -^ bc

est, au contraire, fautive, car on ne voit pas nettement si la lettre c

multiplie le binôme a + b ou la seule lettre b. Il la faut écrire sous

la forme

qui exclut toute hésitation.

C'est évidemment le souci d'éviter une faute de ce genre dans l'emploi du Irait droit qui a fait écrire l'expression

bb

que je rencontre dans une traduction française du calcul intégral de Maclaurin ( ' ).

758. // ne faut jamais superposer des parenthèses de même forme. Si une première parenthèse est comprise dans une seconde, la première sera une parenthèse proprement dite, et la seconde un crochet. C'est ce qui arrive dans l'égalité

qu'on peut regarder comme le type de l'équation différentielle du premier ordre.

(') In-8% Paris, 1765, p. 98.

3l4 TROISIÈME PARTIE. — USAGE.

On représentera par un simple trait ou une simple parenthèse le signe de groupement qui n'en contient aucun autre. 11 serait presque mauvais d'y employer un crochet. Dans Téquation

[. a al -

sin cos — = 1 -H sin a,

le crochet était inutile. — Dans son célèbre Mémoire sur l'expression des coordonnées de la Lune, Delaunay (') place entre crochets les coefficients de tous les sinus, bien que quelques-uns d'entre eux ne contiennent aucune parenthèse.

Emploi singulier des signes de groupement.

759. Lorsque les signes de groupement sont employés pour montrer que certaines notations ne sont point prises dans leur sens ordinaire, il est bien évident qu'ils ne peuvent être supprimés. I^orsque je représente par j^^''' la dérivée troisième de la fonction j>^; lorsque je représente par (a -(- 6 H- c)'^' le cube symbolique du trinôme rt + Z> -f- c, si je sup|)rimais la parenthèse qui enserre le chiftVe 3, ce chiffre perdrait sa signification exceptionnelle de numéro d'ordre dans le premier cas, d'exposant symbolique dans le second, pour reprendre sa signification ordinaire de véritable exposant.

La puissance svmbolique que nous venons de citer se représente assez souvent d ailleurs par la notation

OÙ le trinôme s'écrit à I intérieur d'une parenthèse double. Cette parenthèse double suffit alors à indiquer qu'il s'agit d'une opération symbolique; mais, l'exposant n'étant point écrit d'une façon spéciale, il serait très mauvais de la remplacer par une parenthèse simple. Il ne faut point non plus remplacer par une parenthèse simple la parenthèse double à l'intérieur de laquelle, depuis Gauchy et à son exemple, on place souvent les expressions qui possèdent des déterminations multiples.

(') Connaissance des Temps, il1-8^ Paris, i865.

CHAPITRK II. — EXPRESSIONS MAL ÉCRITES. 3l5

760. he?, parenthèses et crocJiets s'emploient aussi parfois pour mettre une quantité en évidence, pour attirer l'attention sur elle. C'est ce qui a lieu dans les expressions

sin(26"33'), arc cos(cosa).

Ces parenthèses et crochets pourraient être supprimés. Mais il n'en saurait être de même lorsque la quantité placée dans la parenthèse n'est autre chose qu'une lettre ou un chifïre, par exemple -\- x ou — 'j, précédé de l'un des signes + ou — . On écrira donc, avec la parenthèse,

arcsinf-i — j> ( -1- .r ) x ( H- :r).

La suppression de cette parenthèse conduirait le plus souvent à écrire deux signes d'opération à la suite l'un de l'autre, sans aucun intermédiaire, écriture très mauvaise puisqu'on n'opère point sur des signes d'opération, puisqu'on n'établit point d'équations entre opérations. Cette faute cependant est assez souvent commise. Je trouve imprimées les expressions

qui sont évidemment mal écrites.

J'ai lu je ne sais plus où les égalités

par lesquelles un auteur résumait les règles concernant les signes, dans la multiplication des monômes. Il est bien évident que ce n'étaient point là des égalités véritables. On eût pu dire, au plus, pour expliquer mais non pour justifier l'emploi de ces écritures, que c'étaient des relations, des égalités purement mnémoniques .

Expressions ambiguës.

761. Il ne faut pas qu'on puisse jamais hésiter sur la façon dont les éléments d'une expression quelconque doivent être traités dans

3l6 TROISIÈME PARTIE. — USAGE.

les calculs; en d'autres termes, il ne faut pas qu'une expression quelconque ■ào\l ambiguë, soit susceptible de recevoir deux significations difl'érentes. Ce sont surtout Tordre ou l'on écrit les éléments et l'emploi des signes de coordination qui permettent de lever toute indécision, de supprimer toute ambiguïté.

762. Considérons l'expression sina7(r — :;). Représente-t-elle le sinus de x[y — s), ou le produit de sin.2: P^r y — s? — Si elle représente le sinus du produit x{y — ;), il convient de l'écrire sin[j:'(j' — z)\. Si elle représente le produit de sin.r P^^' J>' — 2;, il faut l'écrire (^\nx){y — z) ou bien, dune façon préférable. {y — z) sin.r.

763. Nous avons vu qu'il fallait bien distinguer l'un de l'autre, par la manière même de les écrire, la cinquième puissance de sin.r elle sinus de bx. Il faut éviter aussi que cette cinquième puissance de sinx puisse se confondre avec le sinus de x^ . Si le chiffre 5 est placé, dans le premier cas à une hauteur indécise, dans le second au-dessus de la lettre x. l'expression devient ambiguë. Dans ce dernier cas, on lève toute ambiguïté en écrivant (sin.r)^. C'est ce que faisait Callet (' ).

764. La notation des différentielles, comme celle des différences, produit parfois de graves ambiguïtés. Considérons les expressions

dx"-, Ix^-.

Représentent-elles la différentielle et la différence de jr-, ou le carré de la didéientielle et de h différence de .r ? On les regarde habituellement comme représentant ce cnrré.

Une imprimerie mathématique célèbre indique la différentielle et la différence de x- par les notations

où un point précède .r-. Il vaudrait mieux, selon nous, faire usage des parenthèses. Si l'on écrit, dans le premier cas

dix''), A(x2),

(') Tables portatives de logarithmes, in-H', l^aris, 1795. p. 27.