CHAPITRE III. — STRUCTURE DES EXPRESSIONS

considération de l'homogénéité de dimensions, de V homogénéité géométrique. En effet, le produit considéié représente une longueur; il est naturel que celte longueur soit exprimée à l'aide d'une longueur connue multipliée par un facteur numérique connu : la longueur connue est «^ le facteur numérique connu est le rapport de sinB à sinA.

"8i. Celte considération d' homogénéité s'étend à l'expression de l'inconnue dans toutes les règles de trois, soil simples, soit composées. Les problèmes usuels ainsi dénommés consistent ions en ceci : « Une quantité variable dépend de plusieurs autres, » auxquelles elle est directement ou inversement proportiony> ne lie ; elle possède la valeur Q, lorsque les autres cjuantités » ont les valeurs at, 6,, ...,).,, |j.| . ... ; quelle valeur prendrait t-elle lorscjue ces autres quantités prendront respectivement )) les valeurs a-,^ b-z, • . ., A21 ;J-2' • • • ? » Celte valeur est donnée

par l'expression

a-2 bo . . . )■! [J-i . . .

Uibi . . . Ài ;jt.2 . . .

dans laquelle lliomogénéité de dimensions est parfaitement en évidence. La quantité cherchée, en effet, s'y présente comme égale à une quantité de même nature, multipliée pav un ou plusieurs /«cteurs purement numériques.

Polynômes ordonnés.

78o. La manière la plus naturelle, la plus simple et aussi la plus usitée d'écrire les fonctions algébriques et entières d'une variable, c'est-à-dire les poljnomes entiers, c'est de les ordonner suivant les puissances croissantes ou décroissantes de celte variable. On écrit ainsi, suivant les puissances décroissantes,

ax^ ^ bx -h c, x^ -h p X- -^ g X -i- r,

786. 11 va sans dire qu'un poljnome ainsi ordonné ne doit présenter qu'un seul terme de chaque degré. S'il en présentait plusieurs

du degré p^ il faudrait y melLre xP en facteur commun, et les réduire en un seul, soit à l'aide des parenthèses, soit à l'aide des traits verticaux dont nous avons précédemment (193) parlé. En particulier, un polvnome bien ordonné ne doit présenter qu'un seul terme constant. Il est mauvais d'écrire

x"^ -\- ax -^ h -^ k; il faut réunir les deux derniers termes et écrire

x"^ -r- ax -^ ( Il -^ k).

787. On dit qu'un polynôme ordonné est complet lorsque les exposants de deux termes consécutifs n'y diffèrent jamais que d'une unité. S'il n'en est pas ainsi, le polvnome est incomplet. Il est souvent utile de laisser des vides aux places qu'occuperaient les termes manquants, (!i'est ce que l'on fait notamment pour la multiplication, la division et l'extraction des racines des polynômes incomplets.

788. Un nombre écrit en cliill'res, dans une base quelconque, n'est ciu'un polynôme entier ordonné par rapport aux puissances décroissantes de celte base. Ce polynôme a tous ses coefficients entiers, inférieurs à la base et affectés du signe + ; mais on pourrait s'y servir aussi, comme certair)s ont proposé de le faire, de chiffres les uns positifs, les autres négatifs. Il est, d'ailleurs, à remaïquer (jue, grâce à l'emploi systématique du zéro, ce polynôme est toujours complet.

Coefficients des polynômes ordonnés.

789. Il est évident qu'en tout polynôme ordonné les coefficients d'une part et les exposants de l'autre forment deux suites d'éléments qui se correspondent chacun à chacun. Ces correspondances doivent être indiquées par les notations. Elles le sont assez peu dans les exemples qui précèdent, puistpie A, B, C, ... y correspondent à m, m — I , /?i — 2, .... Ces faibles indications suffisent cependant, parce que, dans ces exemples, on ne considère cpie des termes peu nombreux.