CHAPITRE m. — STUICTURE DES EXPRESSIONS
Lorsque les termes sont en assez grand nombre, les correspondances doivent être indiquées avec précision, à l'aide, par exemple, d'indices affectant les coefficients. C'est ce qui a lieu, mais de manières différentes, dans les polynômes
Ao:r'"-l- A,.r"'-i-t- Aoa7"'-2-r-. . .-i- A,„,
puisque l'indice et l'exposant qui se correspondent, dans le premier, sont égaux et, dans le second, nous offrent une somme constante, qui constitue une sorte d'homogénéité.
Dans le cas où le nombre des termes est un peu grand, la notation
\oX"'-h A,x'«-i-(- A2 '"-■--!-. . .
doit donc étie préférée à la notation
A :r'« -4- Bx'"-' -i- Ga7'«-2 -t- . . . .
Par contre, la notation
Ao X'" -+- A, xP -+- A2 377 -4- . . .
serait avantageusement remplacée par chacune de celles-ci,
Ax'"-+- Ba?/'-t- Cx<i-+-....
A.,„x"^^ ApXi'-h XqX^ + . . .;
et surtout par cette troisième,
M x"'-i-Pxi'-^ Qx'/-^
790. Cette dernière façon d'écrire est celle qu'on emploie le plus souvent dans la démonstration de la règle des signes de Descartes. Un polynôme étant ordonné suivant les puissances décroissantes de x^ on en distribue les termes consécutifs en groupes tels que tous les termes d'un même groupe soient affectés d'un même signe, le premier terme de ce groupe étant précédé, et le dernier suivi, d'un terme de signe contraire. Dans chaque groupe, on n'écrit d'ailleurs que le premier teiine, sauf dans le dernier groupe où Ion écrit les deux termes extrêmes. Le polynôme nous présente alors cet aspect,
Ma7'«-i-. , .— Na?" — . . .+ Y*xP-\-. . .± ^x^±. . .d= Tx^,
OÙ les coefficients M, N, [\ . . . , S, T sont pris en valeur absolue et covrespondenl de la (açon la plus précise aux exposants m, /?, />. . . . , 5, /.
Correspondances entre les éléments.
791. Les polynômes que nous venons de considérer ne présentaient que deux sortes d'éléments se correspondant chacun à chacun. On en trouve trois dans le développement
de la fonction f{x) par la formule de Maclaunn : les exposants de x^ les factorielles en dénominateur, les numéros d'ordre des dérivées. Dans cel exemple, ces trois sortes d'éléments ont des signes qui se correspondent très bien.
Il en est de même dans les développements de langa? et de sécx lorsqu'on les écrit respectivement sous ces formes :
As
As
Ao
Aï
Av
Les éléments correspondants, qui sont aussi de trois sortes, y sont encore très bien notés. Ces éléments sont : les exposants de .r, les factorielles en dénominateur, les différentes valeurs de l'entier A„, lequel n'est autre chose, comme je lai démontré ('), que la moitié du nombre des permutations alternées de n éléments.
