III I

dont le facteur de rang t est l'inverse de l[l -+■ i). Sous forme condensée, nous l'écrirons

et cette notation signifiera qu'il faut multiplier entre eux tous les

résultats qu'on obtient fn considérant l'expression , el

en y remplaçant successivement t par les nombres entiers consécutifs I, 2, 3, ...,/?, dont le premier est encore i et le dernier n.

816. On simplifie parlois les expressions condensées des sommes et des produits en écrivant, comme indice des signes S et II, la lettre t qui prend des valeurs entières successives, et en plaçant, au-dessous et au-dessus d'eux, la première et la dernière de ces valeurs. On écrit ainsi

^/(t), Hoit),

3iO TROISIÈME PARTIE.

a el b étanl les deux entiers qu'on appelle les limites du S et du H, et la lettre t prenant successivement toutes les valeurs «, <7 + i, a +2, ..., b. Cette simplification, déjà ancienne, me paraît due à J. Bourgel.

Parfois même, au lieu d'écrire cette lettre t en indice, on la place à V intérieur des majuscules S et II. Cette notation, qui n'est pas à imiter, rappelle la numération grecque, où l'on marquait le quintuple d'un nombre en insérant ce nombre dans la majuscule FI.

817. Dans certains cas, au lieu de remplacer t par des nombres entiers consécutifs, on le remplace par des nombres définis d'une manière s[)éciale : par les multiples de 3; par les carrés parfaits; par les nombres premiers compris dans un certain intervalle; par les racines d'une équation donnée, elc, etc. On dit alors que le S ou le n s'étend à tous ces nombres. C'est clans le texte qu'il faut indiquer ces nombres, qu'il les faut définir avec précision.

818. Il est à remarquer, d'ailleurs, qu'il est très mauvais de remplacer l'indice t par un noiid)re déterminé; d'écrire, |)nr exemple,

On ne doit jamais oublier que t n'est point déterminé; qu'il est toujours susce[)lible de recevoir des Videurs numériques diftercntes.

Éléments en nombre illimité.

819. Les expressions dont nous venons de parier ne présentent chacune cpiun nombre lim d'clémenls. Il en est où le nombre des éléments peut devenir supérieur à un entier donné quelconque, c'est-à-dire, pour employer le langage usuel des mathématiciens, peut devenir infini. Telle est la somme

\ X \ .ri X

- tang \ lang— - h tang— -+-....

dont les termes sont en nond^re illimité et (pii se représente, sous