CHAPITRE IV. — EXPRESSIONS ABRÉGÉES OU CONDENSÉES

citer comme exemples le produit et la somme représentés par les expressions

830. Dans chacun de ces exemples, la limite dépend de J7, est une fonction de x. On peut la regarder comme en étant une fonction explicite. On dit souvent que cette fonction est la valeur même de cette somme ou de ce produit, pris entièrement. Cette façon de parler est vicieuse, puisque, dans la réalité, on n'a jamais une infinité de termes dans la première expression, ni une infinité de facteurs dans la seconde. La fonction, répétons-le, est la limite. Il nous faut la représenter, dans notre premier exemple, non point par la

série infinie

mais par la notation

lini f I

dans notre second exemple, nou point parle produit infini

X \ / or \ I X

mais par la notation

831. C'est cependant r^rt6i7w^e de représenter la limite par cette série infinie ou ce produit infini, surtout lorsqu'on les écrit respectivement sous les formes condensées

et cet usage, lorsque le lecteur en est prévenu, n'entraîne nul inconvénient.

Cas de plusieurs indices.

832. Les suites et produits qui précèdetit dépendent chacun d'///i seul indice. On en rencontre souvent qui dépendent de deux ou plusieurs. On représente presque toujours ces derniers, sous forme condensée, par des expressions telles que

dans lesquelles les indices / et j |)euvent |)reii(lre chacun les valeurs i , 2, 3, . . . , n .

Il importe de bien indicpier ces valeurs que peuvent prendre les indices. Quelquefois, on les marque dans une parenthèse, placée à la droite de l'expression ( ondensée, en cette sorte :

Le plus souvent, on les indique dans le texte. On ne doit jamais écrire

! J'p('ï'i, rs) au lieu de Jj^ ? ( ■^'z, r,/ )>

les indices ne pouvant, dans l'expression condensée, être représentés par des nombres détenninés.

833. il est à remarquer, dans le cas de plusieurs indices, qu'on a souvent à tenir compte de restrictions essentielles.

Soient a,, ao, .... a„j les racines d'une équation de degré m. Considérons les différences qu'on obtient en prenant, de toutes les manières possibles, deux racines distinctes. Le produit de ces difierences, soumis à cette restriction que les racines prises simultanément soient toujours distinctes, se représentera par la notation

condensée

I I (a,— ay ) I y == I, 2, . . .. /n

où la parenthèse indique les valeurs que peuvent prendre / et y. et