CHAPITRE IV. — EXPRESSIONS ABRÉGÉES OL" CONDENSÉES

8"25. Ln premier moven consisterait à remplacer l'expression condensée par deux, l'une où lindice / prendrait toutes les valeurs de o il /i — - I. lautie où il prendrait toutes les valeurs de /? — i à -f- x. Par ce moven, qui est excellent, la somme et le produit considérés deviendraient respectivement

chaque e\pre-;>ion serait en quelque sorte dédoublée.

8!26. Un autre moven consisterait, sans toucher à l'expression condensée, à v supprimer par un calcul le terme ou le facteur qu'on devrait enlever et qu'on y laisse. Il suffirait de faire précéder la somme du terme — u„. et de multiplier le |)roduit par linverse du facteur v,i. Xos expressions prendraient ainsi les formes respectives

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cjui sont très nettes. — Ces manières d'i'^crire semblent cepeiufint inusitées. La cause en tient sans doute à ce que le facteur «v^ est fréquemment égal ci zéro el {|u'il nous réjjugne de multiplier une expression par linverse de zéro.

L'auteur d'une Algèbre excellente (' ) désigne par t, non pas le produit, ni la somme des nombres entiers i, 2. . . . , p. mais simplement la suite de ces nombres. Il désigne par ^ celte même suite

après qu'il y a supprimé le nombre a. Cette façon d'écrire est tout à fait analogue à celle que nous venons d'indiquer pour le produit condensé d'où I on excej)te un facteur.

8!27. Quoi qu il en soit, les deux movens (|ue nous venons d'exposer répondent parfaitement au problème que nous nous étions posé : représenter par des notations nettes les sommes ou

(') Ch. Briot. Leçons d'Algèbre, in-S", Paris, 1879. 2" Paitie. p. 70 bis.

produils d'où l'on excepte un élément. Il est, d'ailleurs, évident que ces mêmes moyens s'étendraient au cas où l'on en excepterait deux ou plusieurs.

828. Dans la pratique, on se contente le plus souvent d'affecler d'un accent le S ou le II d'où l'on excepte soit un terme, soit un facteur. On écrit ainsi, dans la théorie des fonctions elliptiques, la somme et le produit condensés

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le pai'amètre m devant prendre, dans chacune de ces expressions, toutes les valeurs entières de — :x à -+- x, à l'exception de la valeur zéro.

U est à remarquer que ni l'une ni l'autre de ces dernières expressions n'indiquent explicitement les limites des valeurs de m, non plus que la valeur de m qui doit être exceptée. Il est à remarquer aussi que cet emploi de l'accent pourrait, en certains cas, cire incompatible avec d'autres emplois qu'on en ferait dans la même question. Ce serait au texte de combler ces lacunes et de prévenir toute erreur.

Peut-être, au lieu d'écrire

vaudrait-il mieux écrire

en marquant, à la gauche et en haut de la caractéristique, la valeur a de l'indice qui doit être exceptée.

Limites de certaines expressions.

■ 829. Les séries et produils infinis, qu'ils s'étendent en un sens ou dans deux, qu'ils présentent un élément excepté ou n'en présentent aucun, sont souvent convergents, c'est-à-dire sont souvent tels que la somme ou le produit de leurs n premiers éléments tende vers une ///««7e lorsque l'enller n croît indéfiniment. Nous pouvons