CHAPITRE VI. — RELATIONS. SyS

écrire la formule

y' II' v' w' y H V w

qui se trouve déjà dans le Traité des fluxions de Maclaurin.

A fortiori, devrait-on l'employer s'il s'agissait de calculer la dérivée du produit

car la considération de cette dérivée logaritlimique nous donnerait alors la formule

qui est évidemment fort remarquable.

Un de mes amis, géomètre éminent, écrit le développement du binôme sous cette forme

m\ ~ ml {m — i ) ! i ! {m — 2 ) ! 2 ! * ' ' '

qui est très simple et très régulière.

892. Il suffit parfois, pour rendre les formules régulières, élégantes, de mettre en dénominateur certains coefficients numériques. L'équation du troisième degré étant écrite

x^ -\- px-\- g = o,

la condition pour que ses trois racines soient réelles et distinctes s'exprime par l'inégalité

Or, cette inégalité gagne beaucoup à ce qu'on en divise les deux membres par le produit de ses coefficients. Elle se met, en effet, alors sous la forme

qui est très nette et qui possède une grande vertu mnémonique.

Équations canoniques.

893. Le mot canon, clans rancieiine Algèbre, a presque constammenl la signification de formule ou de règle. Celte dernière acception se retrouve dans la locution équation canonique ; aussi les équations ainsi nommées sont-elles |)resque toujours des équations très régulières, très svméiriqucs, très bien écrites et, pour ainsi dire, parfaites.

89-i. I^a droite qui passe par les deux points [x^,y^) et [Xiiy^) a pour équation canoniipie

^1 .ri

La droite qui passe |)ar le point [x, y) et dont les coefficients directeurs sont (a, |j) a pour équation canonitpie

Ces deux équations sont très bien écrites; elles sont très régulières, très symétrique^ ; de plus, elles peuvent se gi-néraliser immédiatement; il suffit : d'ajouter une ligne et une colonne au déterminant que nous ollre la |)remière pour obtenir l'équation canonique i\u plan passant par o points; — d ajoiitei- un ra|>porl analogue à ceux que nous offre la seconde |)Our obtenir, dans rcs|)ace, les équations de la droite de direction donnée p;>ssant par un point donné.

Il est bien évident, d'ailleurs, cpie les équations non canoniques

^y, = yi=iiia

malgré l'usage continuel qu'on en (ail, ne sont ni s\ métriques, ni susceptibles de généralisation.

895. L'équation canonique de la tangente à une courbe ])lane s'écrit à volonté sous l'une ou l'autre tlo ces deux (ormes :

dx

CHVI'ITRi: VI. — RELATIONS. 3y5

f désignant le jDremiei^ membre de l'équation de la courbe. Sous l'une quelconque de ces formes, celte équation est parfaite et se généralise immédiiitement, nous donnant : sous la première forme, les équations canoniciues de la tangente à une courbe gauche; — sous la seconde, l'écpiation canonique du plan tangent à une surface.

Il en est de même de l'équation canonique de la normale à une courbe plane. Elle s'écrit indifféremment

Sous chacune de ces formes encore, cette équation est parfaite. Elle se généralise immédiatement aussi, nous donnant : dans le premier cas, l'équation canonique du plan normal à une courbe gauche; — dans le second, les équations canoniques de la normale à une surface.

Nous possédons ainsi, dans le plan, deux formes adéquations canoniques pour la tangente et deux pour la normale. Les équations canoniques que nous en lirons par généralisation se rapportent dans l'espace à 4 objets difïerenls et non plus seulemenl à 2. Ce résultat s'explique de lui-même si nous remarquons f|ue l'espace à 2 dimensions ne nous présente qu'un seul être géométrique : la ligne; tandis que l'espace à 3 dimensions nous en présente deux : la liane et la surface.

Abréviations dans les équations.

896. Les équations qui renferment, dans l'un ou l'autre de leurs membres, des termes très nombreux jieuvent s'écrire évidemment sous forme abrégée.